A base de um aquário com volume 2.500 cm^3 é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um aquário com volume de 2500 , cm^3. A base é feita de ardósia e os lados são de vidro. O preço da ardósia por unidade de área é cinco vezes mais caro que o vidro. Nosso objetivo é encontrar as dimensões do aquário que minimizam o custo do material usado na sua construção.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as dimensões do aquário. Vamos chamar:
  • x = comprimento da base (em cm)
  • y = largura da base (em cm)
  • h = altura do aquário (em cm)
Sabemos que o volume V do aquário é dado por:
V = x cdot y cdot h = 2500 , cm^3
Isso nos dá uma relação entre as três dimensões.

Passo 3

Vamos expressar uma das variáveis em função das outras usando o volume. Por exemplo, podemos resolver para h:
h = 2500x cdot y
Isso será útil para expressar o custo total em termos de x e y.

Passo 4

Agora, vamos calcular as áreas dos materiais usados:
  • Área da base (ardósia): Abase = x cdot y
  • Área das laterais (vidro): Há quatro lados, mas como a base é retangular, duas têm área x cdot h e duas têm área y cdot h:
Alados = 2(x cdot h) + 2(y cdot h)

Passo 5

Sabemos que o custo da ardósia é 5 vezes o custo do vidro. Vamos chamar o custo do vidro por unidade de área de c. Então, o custo da ardósia por unidade de área será 5c.
O custo total C será:
C = 5c cdot Abase + c cdot Alados = 5c(x cdot y) + c[2(x cdot h) + 2(y cdot h)]
Podemos simplificar dividindo tudo por c (como ele é comum):
C = 5(x cdot y) + 2(x cdot h) + 2(y cdot h)

Passo 6

Substituímos h pela expressão que encontramos no Passo 3:
C = 5xy + 2x(2500xy) + 2y(2500xy)
Simplificando:
C = 5xy + 5000y + 5000x

Passo 7

Agora, queremos minimizar C em relação a x e y. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de C em relação a x e y e igualá-las a zero.
Primeiro, a derivada em relação a x:
partial Cpartial x = 5y - 5000x^2 = 0
E a derivada em relação a y:
partial Cpartial y = 5x - 5000y^2 = 0

Passo 8

Resolvendo a primeira equação para y:
5y = 5000x^2 implies y = 1000x^2
Resolvendo a segunda equação para x:
5x = 5000y^2 implies x = 1000y^2

Passo 9

Vamos substituir y = 1000x^2 na equação para x:
x = 1000(1000x^2)^2 = 10001000000x^4 = 1000x^41000000 = x^41000
Multiplicando ambos os lados por 1000:
1000x = x^4 implies x^4 - 1000x = 0 implies x(x^3 - 1000) = 0
Desconsideramos x = 0 (não faz sentido físico), então:
x^3 = 1000 implies x = raiz[3]1000 = 10 , cm

Passo 10

Agora que temos x = 10 , cm, substituímos na expressão para y:
y = 1000(10)^2 = 1000100 = 10 , cm

Passo 11

Finalmente, encontramos h usando o volume:
h = 2500x cdot y = 250010 cdot 10 = 2500100 = 25 , cm

Resposta

As dimensões que minimizam o custo do material são:
  • Comprimento: 10 , cm
  • Largura: 10 , cm
  • Altura: 25 , cm

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