A base de um aquário com volume
é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um aquário com volume de
. A base é feita de ardósia e os lados são de vidro. O preço da ardósia por unidade de área é cinco vezes mais caro que o vidro. Nosso objetivo é encontrar as dimensões do aquário que minimizam o custo do material usado na sua construção.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as dimensões do aquário. Vamos chamar:
-
= comprimento da base (em cm) -
= largura da base (em cm) -
= altura do aquário (em cm)
Sabemos que o volume
do aquário é dado por:
Isso nos dá uma relação entre as três dimensões.
Passo 3
Vamos expressar uma das variáveis em função das outras usando o volume. Por exemplo, podemos resolver para
:
Isso será útil para expressar o custo total em termos de
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as áreas dos materiais usados:
- Área da base (ardósia):
- Área das laterais (vidro): Há quatro lados, mas como a base é retangular, duas têm área
e duas têm área :
Passo 5
Sabemos que o custo da ardósia é 5 vezes o custo do vidro. Vamos chamar o custo do vidro por unidade de área de
. Então, o custo da ardósia por unidade de área será
.
O custo total
será:
Podemos simplificar dividindo tudo por
(como ele é comum):
Passo 6
Substituímos
pela expressão que encontramos no Passo 3:
Simplificando:
Passo 7
Agora, queremos minimizar
em relação a
e
. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
Primeiro, a derivada em relação a
:
E a derivada em relação a
:
Passo 8
Resolvendo a primeira equação para
:
Resolvendo a segunda equação para
:
Passo 9
Vamos substituir
na equação para
:
Multiplicando ambos os lados por 1000:
Desconsideramos
(não faz sentido físico), então:
Passo 10
Agora que temos
, substituímos na expressão para
:
Passo 11
Finalmente, encontramos
usando o volume:
Resposta
As dimensões que minimizam o custo do material são:
- Comprimento:
- Largura:
- Altura: