Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção que isso ocorre.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a taxa de variação máxima da função
no ponto
e também a direção em que isso acontece. Para isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente da função, que nos dá informações sobre como a função muda em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função varia quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Com as derivadas parciais, o vetor gradiente de
é dado por:
Passo 6
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 7
A taxa de variação máxima é dada pela magnitude do vetor gradiente. Calculamos:
Para encontrar a direção, normalizamos o vetor gradiente:
Resposta
A taxa de variação máxima de
no ponto
é
e ocorre na direção de
.