Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção que isso ocorre.
(a) f(x, y) = y^2 / x, (2,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a taxa de variação máxima da função no ponto e também a direção em que isso acontece. Para isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente da função, que nos dá informações sobre como a função muda em diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função varia quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Com as derivadas parciais, o vetor gradiente de é dado por:

Passo 6

Vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 7

A taxa de variação máxima é dada pela magnitude do vetor gradiente. Calculamos:
Para encontrar a direção, normalizamos o vetor gradiente:
çã

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é e ocorre na direção de .

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