Encontre um ponto que é colinear a e e cuja distância até é o triplo da distância até . Tal é único? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um ponto que está na linha que une os pontos e . Além disso, a distância de até deve ser três vezes a distância de até . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de linhas e fórmulas de distância entre pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a linha que une os pontos e . Uma maneira fácil de representar uma linha no espaço é usando a equação paramétrica. Para isso, precisamos de um ponto inicial e de um vetor diretor.
O ponto inicial pode ser , e o vetor diretor é dado pela diferença entre e :
Então, a equação paramétrica da linha é:
Aqui, é um parâmetro que varia ao longo da linha.
Passo 3
Agora, vamos expressar o ponto em termos de :
Queremos que a distância de até seja três vezes a distância de até . Vamos escrever isso matematicamente usando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
Passo 4
Vamos calcular e :
Primeiro, :
Segundo, :
Como estamos trabalhando com distâncias positivas, podemos simplificar para .
Passo 5
De acordo com o enunciado, . Então:
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de :
Passo 6
Agora que temos , vamos substituir de volta na equação paramétrica para encontrar as coordenadas de :
Então, .
Resposta
O ponto que satisfaz as condições do exercício é . Esse ponto é único.