Encontre um ponto M que é colinear a A=(-1,-2,1) e B=(3,-2,1) e cuja distância até A é o triplo da distância até B. Tal M é único? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um ponto que está na linha que une os pontos e . Além disso, a distância de até deve ser três vezes a distância de até . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de linhas e fórmulas de distância entre pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a linha que une os pontos e . Uma maneira fácil de representar uma linha no espaço é usando a equação paramétrica. Para isso, precisamos de um ponto inicial e de um vetor diretor.
O ponto inicial pode ser , e o vetor diretor é dado pela diferença entre e :
Então, a equação paramétrica da linha é:
Aqui, é um parâmetro que varia ao longo da linha.

Passo 3

Agora, vamos expressar o ponto em termos de :
Queremos que a distância de até seja três vezes a distância de até . Vamos escrever isso matematicamente usando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:

Passo 4

Vamos calcular e :
Primeiro, :
Segundo, :
Como estamos trabalhando com distâncias positivas, podemos simplificar para .

Passo 5

De acordo com o enunciado, . Então:
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de :

Passo 6

Agora que temos , vamos substituir de volta na equação paramétrica para encontrar as coordenadas de :
Então, .

Resposta

O ponto que satisfaz as condições do exercício é . Esse ponto é único.

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