Sejam u e v dois vetores com módulo igual a raiz(2). Em cada item, determine o módulo de u + v considerando que o ângulo theta formado entre u e v.
(b) theta = 45 graus.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u e v, cada um com módulo igual a raiz(2). O objetivo aqui é descobrir o módulo de , sabendo que o ângulo entre eles, theta, é de 45 graus. Para isso, vamos usar a teoria de adição de vetores e a fórmula do módulo da soma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o módulo da soma de dois vetores. A fórmula é baseada no teorema do paralelogramo e é dada por:
Aqui, e são os módulos dos vetores, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que já conhecemos na fórmula. Sabemos que , , e . Então, temos:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo dentro da raiz:
Substituindo esses valores, temos:

Passo 5

Simplificando mais:
Então:

Passo 6

Agora, podemos deixar a expressão assim ou, se quisermos, podemos fatorar um pouco:
Ambas as formas são corretas, mas geralmente deixamos na forma para facilitar interpretações futuras.

Resposta

O módulo de é .

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