Resolva as integrais definidas:
integral1^e 1x ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida imprópria integral1^e 1xln(x),dx, sabendo que ela é imprópria no limite inferior em x=1. Vamos usar substituição e depois avaliar o comportamento no limite.

Passo 2

Identificamos a primitiva de 1xln(x). Fazendo a troca de variável u=ln(x) implica du=1x,dx. Assim,
integral 1xln(x),dx = integral 1u,du = lnlvert urvert + C = lnlvert ln(x)rvert + C
Precisamos agora avaliar a integral definida como limite impróprio:
integral1^e 1xln(x),dx = limato1^+ l[lnlvert ln(x)rvertr]x=a^x=e = limato1^+l(ln(1) - ln(ln(a))r)
Como ln(1)=0 e, quando ato1^+, ln(a)to0^+ leva ln(ln(a))to -infty, o termo -ln(ln(a)) vai para +infty. Portanto a integral não converge.

Passo 3

Concluímos que a área sob a curva diverge; a integral é infinita.

Resposta

A integral diverge (vai para +∞) e não converge.

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