Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre:
Passo 1
O problema pede a taxa de variação máxima (direcional) de uma função de duas variáveis num ponto, além da direção em que isso ocorre. O conteúdo principal aqui é gradiente e derivada direcional, e vamos precisar calcular as derivadas parciais para obter o gradiente.
Passo 2
Para encontrar o gradiente de , calculamos as derivadas parciais:
Agora avaliamos em :
partial fpartial y|(2,0)=4raiz2
Logo,
nabla f(2,0)=(0,4raiz2)
Passo 3
A taxa de variação direcional máxima em um ponto é o módulo do gradiente nesse ponto. Calculamos:
|nabla f(2,0)|=raiz0^2+(4raiz2)^2=raiz32=4raiz2
Passo 4
A direção em que essa variação máxima ocorre é a direção do próprio gradiente. O vetor gradiente em (2,0) é (0,4raiz2). Seu vetor unitário correspondente é
14raiz2(0,4raiz2)=(0,1)
Resposta
A taxa de variação máxima de f em (2,0) é 4raiz2, e ela ocorre na direção do vetor (0,1).