(2,0) Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre:
f(x, y)=4 y raizx

Passo 1

O problema pede a taxa de variação máxima (direcional) de uma função de duas variáveis num ponto, além da direção em que isso ocorre. O conteúdo principal aqui é gradiente e derivada direcional, e vamos precisar calcular as derivadas parciais para obter o gradiente.

Passo 2

Para encontrar o gradiente de f(x,y)=4yraizx, calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x=4ycdot12raizx=2yraizx,
partial fpartial y=4raizx
Agora avaliamos em (2,0):
partial fpartial x|(2,0)=2cdot0raiz2=0,
partial fpartial y|(2,0)=4raiz2
Logo,
nabla f(2,0)=(0,4raiz2)

Passo 3

A taxa de variação direcional máxima em um ponto é o módulo do gradiente nesse ponto. Calculamos:
|nabla f(2,0)|=raiz0^2+(4raiz2)^2=raiz32=4raiz2

Passo 4

A direção em que essa variação máxima ocorre é a direção do próprio gradiente. O vetor gradiente em (2,0) é (0,4raiz2). Seu vetor unitário correspondente é
14raiz2(0,4raiz2)=(0,1)

Resposta

A taxa de variação máxima de f em (2,0) é 4raiz2, e ela ocorre na direção do vetor (0,1).

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