Resolva a equação y^prime prime+y=0. Encontre, também, a solução que satisfaz as condições iniciais y(0)=-2 e y^prime(0)=1.

Passo 1

A equação é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: y''+y=0. Vamos usar a técnica de equação característica para encontrar a solução geral e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2+1=0

Passo 3

Resolvendo-a, obtemos as raízes complexas conjugadas:
r=pm i

Passo 4

Pela teoria de EDOs, quando temos raízes pm i, a solução geral é combinação de cos x e sin x:
y(x)=C1cos x + C2sin x

Passo 5

Calculamos a derivada de y(x) para aplicar as condições iniciais:
y'(x)=-C1sin x + C2cos x

Passo 6

Impondo y(0)=-2 e y'(0)=1, temos:
y(0)=C1=-2
y'(0)=C2=1

Passo 7

Portanto, os valores das constantes são C1=-2 e C2=1, e obtemos a solução particular.

Resposta

A solução geral é y(x)=C1cos x + C2sin x e, impondo y(0)=-2, y'(0)=1, a solução que satisfaz as condições iniciais é y(x)=-2cos x+sin x.

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