Primeira Prova
Encontre d yd x da expressão y^3+x^3=7 e avalie a derivada encontreda no ponto (-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada dydx da expressão y^3 + x^3 = 7 e depois avaliar essa derivada no ponto (-1, 2). Isso está dentro do conteúdo de Derivadas Implícitas em cálculo. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar termos que envolvem y, já que y é uma função de x.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que, quando derivamos algo como y^3 em relação a x, usamos a regra da cadeia:
ddx(y^3) = 3y^2 cdot dydx
E para x^3, a derivada é mais simples:
ddx(x^3) = 3x^2

Passo 3

Aplicando as derivadas, temos:
ddx(y^3 + x^3) = ddx(7)
Isso fica:
3y^2 cdot dydx + 3x^2 = 0
Aqui, derivamos y^3 e x^3 e lembramos que a derivada de uma constante (7) é 0.

Passo 4

Agora, vamos isolar dydx na equação:
3y^2 cdot dydx = -3x^2
Dividindo ambos os lados por 3y^2:
dydx = -3x^23y^2
Simplificando os 3:
dydx = -x^2y^2

Passo 5

Finalmente, vamos avaliar a derivada no ponto (-1, 2). Substituindo x = -1 e y = 2 na expressão que encontramos:
dydx = -(-1)^2(2)^2 = -14

Resposta

A derivada dydx no ponto (-1, 2) é -14.

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