Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de f sujeita à restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
f(x, y)=x^{2}-y^{2} ; x^{2}+y^{2}=25

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
f(x,y)=x^{2}-y^{2}
sujeito à restrição
x^{2}+y^{2}=25.
O conteúdo é otimização com restrição de igualdade usando multiplicadores de Lagrange, ou seja, vamos definir uma função auxiliar que combine f e a restrição e buscar pontos em que os gradientes sejam proporcionais.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,(g(x,y)),
onde
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-25=0
é a restrição rearranjada. Assim,
L(x,y,\lambda)=x^{2}-y^{2}-\lambda\,(x^{2}+y^{2}-25).

Passo 3

As condições de estacionariedade vêm de igualar a zero as derivadas parciais de L:
\frac{\partial L}{\partial x}=2x-2\lambda x=0,\qquad \frac{\partial L}{\partial y}=-2y-2\lambda y=0,\qquad \frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(x^{2}+y^{2}-25)=0.
Isso gera o sistema
2x(1-\lambda)=0,\quad -2y(1+\lambda)=0,\quad x^{2}+y^{2}=25.

Passo 4

Do sistema, temos duas possibilidades em cada equação:
  1. 2x(1-\lambda)=0 x=0 ou \lambda=1.
  2. -2y(1+\lambda)=0 y=0 ou \lambda=-1.
Analisando casos compatíveis com x^{2}+y^{2}=25:
  • Se x=0, então y^{2}=25, logo y=\pm5. Nesse caso \lambda=-1.
  • Se y=0, então x^{2}=25, logo x=\pm5. Nesse caso \lambda=1.
Assim, os candidatos são (0,5), (0,-5), (5,0) e (-5,0).

Passo 5

Avaliaremos f em cada ponto:
  • Em (5,0) e (-5,0): f(5,0)=5^{2}-0^{2}=25,\quad f(-5,0)=(-5)^{2}-0^{2}=25.
  • Em (0,5) e (0,-5): f(0,5)=0^{2}-5^{2}=-25,\quad f(0,-5)=0^{2}-(-5)^{2}=-25.
Logo, o valor máximo é 25 e o valor mínimo é -25.

Resposta

O valor máximo de f é 25 e ocorre nos pontos (5,0) e (-5,0).
O valor mínimo de f é -25 e ocorre nos pontos (0,5) e (0,-5).

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