Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de
sujeita à restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos de
sujeito à restrição
O conteúdo é otimização com restrição de igualdade usando multiplicadores de Lagrange, ou seja, vamos definir uma função auxiliar que combine
e a restrição e buscar pontos em que os gradientes sejam proporcionais.
Passo 2
Definimos a função de Lagrange
onde
é a restrição rearranjada. Assim,
Passo 3
As condições de estacionariedade vêm de igualar a zero as derivadas parciais de
:
Isso gera o sistema
Passo 4
Do sistema, temos duas possibilidades em cada equação:
-
dá ou . -
dá ou .
Analisando casos compatíveis com
:
- Se
, então , logo . Nesse caso . - Se
, então , logo . Nesse caso .
Assim, os candidatos são
,
,
e
.
Passo 5
Avaliaremos
em cada ponto:
- Em
e : - Em
e :
Logo, o valor máximo é
e o valor mínimo é
.
Resposta
O valor máximo de
é
e ocorre nos pontos
e
.
O valor mínimo de é
e ocorre nos pontos
e
.
O valor mínimo de