Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
f(p, q)=q e^{-p}+p e^{-q}, \quad ponto (0,0)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(p,q)=q\,e^{-p}+p\,e^{-q}
e pede a taxa de variação máxima de f no ponto (0,0) e a direção em que ela ocorre. Para isso vamos usar o vetor gradiente, pois a maior taxa de variação de f num ponto é igual ao comprimento de \nabla f nesse ponto, e a direção correspondente é a direção de \nabla f.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f.
Para \frac{\partial f}{\partial p}:
\frac{\partial }{\partial p}\bigl(q\,e^{-p}\bigr) = -q\,e^{-p}, \quad \frac{\partial }{\partial p}\bigl(p\,e^{-q}\bigr) = e^{-q}.
Assim,
\frac{\partial f}{\partial p} = -q\,e^{-p}+e^{-q}.
Para \frac{\partial f}{\partial q}:
\frac{\partial }{\partial q}\bigl(q\,e^{-p}\bigr) = e^{-p}, \quad \frac{\partial }{\partial q}\bigl(p\,e^{-q}\bigr) = -p\,e^{-q}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial q} = e^{-p}-p\,e^{-q}.

Passo 3

Avaliamo ambas as parciais em (0,0). Como e^{0}=1 e p=q=0, temos
\frac{\partial f}{\partial p}(0,0) = -0\cdot1 + 1 = 1, \qquad \frac{\partial f}{\partial q}(0,0) = 1 - 0\cdot1 = 1.

Passo 4

O vetor gradiente em (0,0) é
\nabla f(0,0) = \bigl(1,\,1\bigr).
A maior taxa de variação de f nesse ponto é o comprimento de \nabla f(0,0):
\bigl\|\nabla f(0,0)\bigr\| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}.

Passo 5

A direção de máxima variação é a direção de \nabla f(0,0). O vetor unitário nessa direção é
\frac{\nabla f(0,0)}{\|\nabla f(0,0)\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,(1,1).

Resposta

A taxa de variação máxima de f em (0,0) é \sqrt{2}, e ela ocorre na direção do vetor unitário \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).

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