Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
f(s, t)=t e^{s u}, \quad(0,2)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas no ponto dado (0,2):
  • A taxa de variação máxima de f nesse ponto.
  • A direção (vetor unitário) em que essa taxa máxima ocorre.
As informações fornecidas são:
  • A função é f(s,t)=t e^{s u}.
  • O ponto onde devemos avaliar é (s,t)=(0,2).
Observação: aqui u aparece na definição de f. Vou tratar u como uma constante (parâmetro) — se u for um número conhecido, o resultado pode ser obtido substituindo esse valor na resposta final.

Passo 2

Conceito fundamental que vamos usar (explicado passo a passo):
  • O gradiente de f, denotado \nabla f, é o vetor das derivadas parciais. Ele aponta na direção de maior crescimento de f.
  • A derivada direcional de f na direção do vetor unitário \mathbf{v} vale \nabla f\cdot\mathbf{v} (produto escalar).
  • A taxa de variação máxima de f num ponto é o comprimento do gradiente nesse ponto, isto é \max_{\|\mathbf{v}\|=1}\nabla f\cdot\mathbf{v}=\|\nabla f\|.
  • A direção em que isso ocorre é justamente a direção do gradiente; o vetor unitário correspondente é \dfrac{\nabla f}{\|\nabla f\|}.
Vou aplicar isso: primeiro calculo o gradiente de f, depois avalio no ponto (0,2), depois obtenho sua norma e o vetor unitário.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(s,t)=t e^{s u}.
  • Derivada parcial em relação a s: tratar t e u como constantes e derivar e^{s u}.
\frac{\partial f}{\partial s}(s,t)=t\cdot\frac{d}{ds}\bigl(e^{s u}\bigr)=t\cdot u e^{s u}=t u e^{s u}.
Expliquei: \frac{d}{ds}e^{s u}=u e^{s u} porque regra da cadeia, já que s u é função linear de s.
  • Derivada parcial em relação a t: tratar s e u como constantes; t aparece multiplicando e^{s u}, logo
\frac{\partial f}{\partial t}(s,t)=e^{s u}.

Passo 4

Formar o gradiente e avaliá-lo em (0,2).
O gradiente é
\nabla f(s,t)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial s}(s,t)\\[6pt]\dfrac{\partial f}{\partial t}(s,t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}t u e^{s u}\\[4pt] e^{s u}\end{pmatrix}.
Agora avalio em s=0 e t=2. Primeiro noto que e^{s u} em s=0 vale e^{0}=1. Assim
\frac{\partial f}{\partial s}(0,2)=2u\cdot 1=2u, \qquad \frac{\partial f}{\partial t}(0,2)=1.
Logo o gradiente no ponto é
\nabla f(0,2)=\begin{pmatrix}2u\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular a taxa de variação máxima: é a norma do gradiente em (0,2).
A norma eu calculo assim:
\|\nabla f(0,2)\|=\sqrt{(2u)^2+1^2}=\sqrt{4u^2+1}.
Esse é o valor máximo da derivada direcional em (0,2).

Passo 6

Determinar a direção em que ocorre esse máximo: é a direção do gradiente. O vetor unitário nessa direção é o gradiente dividido pela sua norma:
\mathbf{v}_{\text{máx}}=\frac{\nabla f(0,2)}{\|\nabla f(0,2)\|} =\frac{1}{\sqrt{4u^2+1}}\begin{pmatrix}2u\\[4pt]1\end{pmatrix}.á
Esse vetor unitário aponta para a direção de maior crescimento de f no ponto (0,2).]

Resposta

\text{Taxa máxima}=\sqrt{4u^{2}+1}á
\text{Direção (vetor unitário)}=\dfrac{1}{\sqrt{4u^{2}+1}}\begin{pmatrix}2u\\[6pt]1\end{pmatrix}çãá]

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