Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f(s, t)=t e^{s u}, \quad(0,2)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas no ponto dado (0,2):
A taxa de variação máxima de f nesse ponto.
A direção (vetor unitário) em que essa taxa máxima ocorre.
As informações fornecidas são:
A função é f(s,t)=t e^{s u}.
O ponto onde devemos avaliar é (s,t)=(0,2).
Observação: aqui u aparece na definição de f. Vou tratar u como uma constante (parâmetro) — se u for um número conhecido, o resultado pode ser obtido substituindo esse valor na resposta final.
Passo 2
Conceito fundamental que vamos usar (explicado passo a passo):
O gradiente de f, denotado \nabla f, é o vetor das derivadas parciais. Ele aponta na direção de maior crescimento de f.
A derivada direcional de f na direção do vetor unitário \mathbf{v} vale \nabla f\cdot\mathbf{v} (produto escalar).
A taxa de variação máxima de f num ponto é o comprimento do gradiente nesse ponto, isto é \max_{\|\mathbf{v}\|=1}\nabla f\cdot\mathbf{v}=\|\nabla f\|.
A direção em que isso ocorre é justamente a direção do gradiente; o vetor unitário correspondente é \dfrac{\nabla f}{\|\nabla f\|}.
Vou aplicar isso: primeiro calculo o gradiente de f, depois avalio no ponto (0,2), depois obtenho sua norma e o vetor unitário.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f(s,t)=t e^{s u}.
Derivada parcial em relação a s: tratar t e u como constantes e derivar e^{s u}.
\frac{\partial f}{\partial s}(s,t)=t\cdot\frac{d}{ds}\bigl(e^{s u}\bigr)=t\cdot u e^{s u}=t u e^{s u}.
Expliquei: \frac{d}{ds}e^{s u}=u e^{s u} porque regra da cadeia, já que s u é função linear de s.
Derivada parcial em relação a t: tratar s e u como constantes; t aparece multiplicando e^{s u}, logo