Determine a taxa de variação máxima de f no ponto indicado e a direção em que isso ocorre.
(c) f(x, y, z)=xx+z, (8,1,3)

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação máxima de f(x,y,z)=xx+z no ponto (8,1,3) e a direção em que ela ocorre.
Isso envolve o conceito de gradiente: a taxa de variação máxima de uma função em um ponto é o módulo do gradiente nesse ponto, e a direção de máxima variação é a do próprio vetor gradiente.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f usando a regra do quociente. Para partial f/partial x:
partial fpartial x = (1)(x+z) - xcdot1(x+z)^2 = z(x+z)^2
Como f não depende de y diretamente,
partial fpartial y=0
Para partial f/partial z:
partial fpartial z = 0cdot(x+z) - xcdot1(x+z)^2 = -x(x+z)^2

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em (8,1,3). Aqui x+z=8+3=11. Logo
nabla f(8,1,3) = l(311^2,,0,,-811^2r) = l(3121,,0,,-8121r)

Passo 4

A taxa de variação máxima é o módulo de nabla f(8,1,3):
|nabla f(8,1,3)| = raizl(3121r)^2 + 0^2 + l(-8121r)^2 = raiz9+64121 = raiz73121

Passo 5

A direção de máxima variação é a do vetor gradiente normalizado. Assim, o vetor unitário é
1|nabla f|,nabla f(8,1,3) = l(3121,0,-8121r)/raiz73121 = l(3raiz73,,0,,-8raiz73r)

Resposta

Taxa de variação máxima: raiz73121.
Direção de máxima variação: l(tfrac3raiz73,,0,,-tfrac8raiz73r).

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