Determine a taxa de variação máxima de
no ponto indicado e a direção em que isso ocorre.
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede a taxa de variação máxima de
no ponto
e a direção em que ela ocorre.
Isso envolve o conceito de gradiente: a taxa de variação máxima de uma função em um ponto é o módulo do gradiente nesse ponto, e a direção de máxima variação é a do próprio vetor gradiente.
Isso envolve o conceito de gradiente: a taxa de variação máxima de uma função em um ponto é o módulo do gradiente nesse ponto, e a direção de máxima variação é a do próprio vetor gradiente.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
usando a regra do quociente. Para
:
Como
não depende de
diretamente,
Para
:
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente em
. Aqui
. Logo
Passo 4
A taxa de variação máxima é o módulo de
:
Passo 5
A direção de máxima variação é a do vetor gradiente normalizado. Assim, o vetor unitário é
Resposta
Taxa de variação máxima:
.
Direção de máxima variação: .
Direção de máxima variação: