Usando as propriedades e regras de derivação, encontre a derivada das funções:

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a derivada de
f(t)=2t2+raizt
Aqui vamos usar regra do quociente (ou, de forma equivalente, regra do produto + regra da cadeia para raizt).

Passo 2

Para facilitar, reescrevo f(t) como produto:
f(t)=2t,(2+t^1/2)^-1

Passo 3

Chamo
u(t)=2t, v(t)=(2+t^1/2)^-1
Pela regra do produto:
f'(t)=u'(t),v(t)+u(t),v'(t),
sendo u'(t)=2.

Passo 4

Agora v(t)=(2+t^1/2)^-1. Pela regra da cadeia:
v'(t)=-1,(2+t^1/2)^-2cdotddt(2+t^1/2) =-,(2+t^1/2)^-2cdot12,t^-1/2
Logo
v'(t)=-12,t^-1/2,(2+t^1/2)^-2

Passo 5

Substituindo em f'(t):
f'(t) =2,(2+t^1/2)^-1 +2tl(-tfrac12,t^-1/2,(2+t^1/2)^-2r)
Colocando tudo sobre o mesmo denominador (2+t^1/2)^2 e simplificando:
f'(t) =2(2+t^1/2)(2+t^1/2)^2 -t,t^-1/2(2+t^1/2)^2 =4+2t^1/2-t^1/2(2+t^1/2)^2 =4+t^1/2(2+t^1/2)^2

Resposta

f'(t)=4+raizt(2+raizt)^2

Exercícios relacionados