Questão 6. (1,5) Expresse \int_{2}^{3} x^{2} d x como limite de somas Riemann.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos escrever
\int_{2}^{3} x^{2}\,dx
como limite de somas de Riemann. O conteúdo envolvido é a definição de integral definida via soma de Riemann, que usa uma partição do intervalo, pontos de amostra e o limite quando o número de subintervalos tende a infinito.

Passo 2

Dividimos o intervalo [2,3] em n subintervalos de mesmo comprimento. O comprimento de cada subintervalo é
\Delta x = \frac{3-2}{n} = \frac{1}{n}.

Passo 3

Escolhemos, por exemplo, o ponto de amostra no extremo direito de cada subintervalo. O i-ésimo ponto de amostra é
x_i^* = 2 + i\,\Delta x = 2 + \frac{i}{n},
para i = 1,2,\dots,n.

Passo 4

A soma de Riemann associada é
S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \Bigl(x_i^*\Bigr)^{2}\,\frac{1}{n} = \sum_{i=1}^{n} \Bigl(2 + \frac{i}{n}\Bigr)^{2}\,\frac{1}{n}.

Passo 5

Tomando o limite dessa soma quando n\to\infty, obtemos a integral desejada:
\int_{2}^{3} x^{2}\,dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \Bigl(2 + \frac{i}{n}\Bigr)^{2}\,\frac{1}{n}.

Resposta

\int_{2}^{3} x^{2}\,dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \Bigl(2 + \frac{i}{n}\Bigr)^{2}\,\frac{1}{n}.

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