Questão 2. (2,0) Calcule a área da região delimitada pelas curvas de equação de y=|x| e y=-x^{2}+x+4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = |x|
e
y = -x^2 + x + 4.
Isso é um problema de área entre curvas, em que vamos usar a integral definida da diferença entre a função superior e a inferior em cada intervalo, isto é
\text{área} = \int (f_\text{topo} - f_\text{fundo})\,dx.á

Passo 2

Precisamos primeiro achar os pontos de interseção, resolvendo
|x| = -x^2 + x + 4.
Caso x\ge0: |x|=x, então
x = -x^2 + x + 4 \quad\Longrightarrow\quad x^2 -4 =0 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 2,
mas em x\ge0 só cabe x=2.
Caso x<0: |x|=-x, então
-x = -x^2 + x + 4 \quad\Longrightarrow\quad x^2 -2x -4 =0
com raízes
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 +16}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}.
Dessas, só x = 1 - \sqrt{5} é negativa. Logo os limites de x são
a = 1 - \sqrt{5},\quad 0,\quad 2.

Passo 3

Em cada trecho o “topo” e o “fundo” são:
para x\in[a,0], topo é -x^2 + x +4 e fundo é -x;
para x\in[0,2], topo é -x^2 + x +4 e fundo é x.
Portanto a área total é
A = \int_{\,1-\sqrt{5}}^{0}\Bigl[(-x^2 + x +4) - (-x)\Bigr]dx + \int_{0}^{2}\Bigl[(-x^2 + x +4) - x\Bigr]dx.

Passo 4

Simplificando os integrandos:
(-x^2 + x +4) - (-x) = -x^2 +2x +4,
(-x^2 + x +4) - x = -x^2 +4.
Então
A = \int_{\,1-\sqrt{5}}^{0}(-x^2 +2x +4)\,dx + \int_{0}^{2}(-x^2 +4)\,dx.

Passo 5

Calculemos a segunda integral de 0 a 2:
\int_{0}^{2}(-x^2 +4)\,dx = \Bigl[-\tfrac{x^3}{3}+4x\Bigr]_{0}^{2} = \Bigl(-\tfrac{8}{3}+8\Bigr)-0 = \frac{16}{3}.

Passo 6

Para a primeira integral, seja a = 1-\sqrt{5}.
\int(-x^2 +2x +4)\,dx = -\frac{x^3}{3} + x^2 +4x,
então
\int_{a}^{0}(-x^2 +2x +4)\,dx = \Bigl[-\tfrac{x^3}{3} + x^2 +4x\Bigr]_{a}^{0} = 0 -\Bigl(-\tfrac{a^3}{3}+a^2+4a\Bigr) = \frac{a^3}{3} - a^2 -4a.
Com a=1-\sqrt{5} obtemos
a^2 = 6 - 2\sqrt{5},\quad a^3 = 16 - 8\sqrt{5},
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\frac{a^3}{3} - a^2 -4a = \frac{16 -8\sqrt{5}}{3} - (6 -2\sqrt{5}) -4(1-\sqrt{5}) = \frac{10\sqrt{5} -14}{3}.

Passo 7

Somando as duas parcelas:
A = \frac{10\sqrt{5} -14}{3} + \frac{16}{3} = \frac{10\sqrt{5} +2}{3} = \frac{2\,(5\sqrt{5}+1)}{3}.

Resposta

\frac{2\,(5\sqrt{5}+1)}{3}.

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