Gradiente: para uma função f(x,y), o gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\bigl(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\bigr),
onde f_x é a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y fixo) e f_y é a derivada parcial em relação a y (mantendo x fixo).
Derivada direcional: a taxa de variação de f na direção de um vetor unitário u é
D_{u}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot u,
ou seja, o produto escalar entre o gradiente e u.
Máximo da derivada direcional: dentre todos os vetores unitários u, a derivada direcional atinge seu valor máximo quando u tem a mesma direção do gradiente \nabla f. O valor máximo é o comprimento do gradiente:
\max_{\|u\|=1} D_{u}f(x,y)=\|\nabla f(x,y)\|.
Aqui \|\cdot\| é a norma euclidiana do vetor e \cdot é produto escalar.
Esses conceitos justificam por que basta encontrar \nabla f(0,0): o máximo será \|\nabla f(0,0)\| e a direção será a direção do próprio \nabla f(0,0).
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais usando a regra da cadeia explicada passo a passo.
Observação: o sinal negativo não afeta a norma porque norma usa quadrados.
A direção em que isso ocorre é a direção do gradiente \nabla f(0,0). Um vetor unitário na direção do gradiente é obtido normalizando \nabla f(0,0). Assim a direção (vetor unitário) é