1. Determine a taxa de variação máxima da função f(x, y)=\sqrt[5]{\cos \left(2^{x}+y\right)} no ponto (0,0) e a direção em que isso ocorre.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função \displaystyle f(x,y)=\sqrt[5]{\cos\!\bigl(2^{x}+y\bigr)} no ponto (0,0):
  1. A taxa de variação máxima de f no ponto (0,0).
  2. A direção em que essa taxa de variação máxima ocorre.
Informações dadas e úteis, listadas sem resolver ainda:
\text{Função: } f(x,y)=\bigl(\cos(2^{x}+y)\bigr)^{1/5}, \qquad\text{ponto: }(0,0).çã

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicados devagar):
  • Gradiente: para uma função f(x,y), o gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\bigl(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\bigr),
onde f_x é a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y fixo) e f_y é a derivada parcial em relação a y (mantendo x fixo).
  • Derivada direcional: a taxa de variação de f na direção de um vetor unitário u é
D_{u}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot u,
ou seja, o produto escalar entre o gradiente e u.
  • Máximo da derivada direcional: dentre todos os vetores unitários u, a derivada direcional atinge seu valor máximo quando u tem a mesma direção do gradiente \nabla f. O valor máximo é o comprimento do gradiente:
\max_{\|u\|=1} D_{u}f(x,y)=\|\nabla f(x,y)\|.
Aqui \|\cdot\| é a norma euclidiana do vetor e \cdot é produto escalar.
Esses conceitos justificam por que basta encontrar \nabla f(0,0): o máximo será \|\nabla f(0,0)\| e a direção será a direção do próprio \nabla f(0,0).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais usando a regra da cadeia explicada passo a passo.
Escrevo f como composição: seja
h(x,y)=\cos\!\bigl(2^{x}+y\bigr), \qquad g(u)=u^{1/5}, \qquad\text{então } f(x,y)=g\bigl(h(x,y)\bigr).ã
Pela regra da cadeia para derivadas parciais:
f_x=g'(h(x,y))\cdot h_x(x,y), \qquad f_y=g'(h(x,y))\cdot h_y(x,y).
Calcule g' e h_x,h_y:
  • g(u)=u^{1/5} implica
g'(u)=\frac{1}{5}\,u^{-4/5}.
Aqui u representa o argumento de g, ou seja u=h(x,y).
  • h(x,y)=\cos\!\bigl(2^{x}+y\bigr). Derivando:
h_x(x,y)=-\sin\!\bigl(2^{x}+y\bigr)\cdot \frac{d}{dx}\bigl(2^{x}+y\bigr).
Ora \displaystyle \frac{d}{dx}2^{x}=\ln 2\cdot 2^{x} (porque 2^{x}=e^{x\ln 2}), e \frac{d}{dx}y=0. Assim
h_x(x,y)=-\sin\!\bigl(2^{x}+y\bigr)\cdot (\ln 2)\,2^{x}.
  • De forma análoga,
h_y(x,y)=-\sin\!\bigl(2^{x}+y\bigr)\cdot \frac{d}{dy}\bigl(2^{x}+y\bigr) =-\sin\!\bigl(2^{x}+y\bigr)\cdot 1 =-\sin\!\bigl(2^{x}+y\bigr).
Agora junte tudo:
f_x(x,y)=\frac{1}{5}\,h(x,y)^{-4/5}\cdot h_x(x,y) =\frac{1}{5}\bigl(\cos(2^{x}+y)\bigr)^{-4/5}\cdot\bigl[-\sin(2^{x}+y)\,(\ln 2)\,2^{x}\bigr].
f_y(x,y)=\frac{1}{5}\,h(x,y)^{-4/5}\cdot h_y(x,y) =\frac{1}{5}\bigl(\cos(2^{x}+y)\bigr)^{-4/5}\cdot\bigl[-\sin(2^{x}+y)\bigr].
Podemos escrever de forma fatorada:
\nabla f(x,y)=-\frac{1}{5}\sin\!\bigl(2^{x}+y\bigr)\bigl(\cos(2^{x}+y)\bigr)^{-4/5}\bigl((\ln 2)\,2^{x},\;1\bigr).

Passo 4

Avalie o gradiente no ponto (0,0). Primeiro calcule as quantidades internas em (0,0):
2^{0}=1,\qquad 2^{0}+0=1,\qquad \sin(1)=\sin 1,\qquad \cos(1)=\cos 1.
Substituindo em \nabla f:
\nabla f(0,0)=-\frac{1}{5}\sin 1\;(\cos 1)^{-4/5}\;(\ln 2,\;1).
Ou seja, explicitamente,
f_x(0,0)=-\frac{\ln 2}{5}\,\sin 1\;(\cos 1)^{-4/5}, \qquad f_y(0,0)=-\frac{1}{5}\,\sin 1\;(\cos 1)^{-4/5}.

Passo 5

Agora a taxa de variação máxima em (0,0) é a norma do gradiente \|\nabla f(0,0)\|. Calcule a norma do vetor dado:
\|\nabla f(0,0)\| =\Biggl\|-\frac{1}{5}\sin 1\;(\cos 1)^{-4/5}\;(\ln 2,\;1)\Biggr\| =\frac{1}{5}\sin 1\;(\cos 1)^{-4/5}\;\sqrt{(\ln 2)^{2}+1}.
Observação: o sinal negativo não afeta a norma porque norma usa quadrados.
A direção em que isso ocorre é a direção do gradiente \nabla f(0,0). Um vetor unitário na direção do gradiente é obtido normalizando \nabla f(0,0). Assim a direção (vetor unitário) é
u=\frac{\nabla f(0,0)}{\|\nabla f(0,0)\|} =-\frac{1}{\sqrt{(\ln 2)^{2}+1}}(\ln 2,\;1).
Ou seja, a direção aponta para o vetor com componentes proporcionais a -\ln 2 e -1.
Breve incentivo: você já fez o mais difícil — aplicar regra da cadeia e lembrar que o gradiente indica a direção de máximo crescimento. Tá indo bem!

Resposta

\text{Taxa de variação máxima: }\;\frac{1}{5}\sin 1\;(\cos 1)^{-4/5}\;\sqrt{(\ln 2)^{2}+1}çãá
\text{Direção (vetor unitário): }\;-\frac{1}{\sqrt{(\ln 2)^{2}+1}}(\ln 2,\;1)çãá

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