Use a Regra da Cadeia (Caso Geral) para calcular
e
, onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
e
. As informações dadas são:
Observações relevantes fornecidas pelo enunciado:
são funções de
e
; a função
depende de
apenas através de
. Note que
exige
para estar bem definida.
Passo 2
Vamos usar a Regra da Cadeia no caso geral para funções de várias variáveis. A ideia é: quando
depende de
e cada uma dessas depende de
, a derivada parcial de
em relação a
é a soma das contribuições de cada caminho
,
,
. Formalmente:
E análogamente,
Agora vamos calcular cada termo passo a passo: primeiro as derivadas de
em relação a
, depois as derivadas de
em relação a
e
, e por fim montar as somas.
Passo 3
Calculemos
,
e
.
Defina
. Então
. A derivada de
em relação a
é, pela regra da cadeia unidimensional,
Como
, obtemos
De modo análogo,
Passo 4
Agora calculemos as derivadas de
em relação a
.
Para
temos
porque a parte
é constante quando derivamos em relação a
.
Para
(aqui
é o seno), temos
pois
e
é constante em
.
Para
, tratamos
como constante quando diferenciamos em
. Assim
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da Regra da Cadeia para
:
Substituindo os resultados dos Passos 3 e 4:
Podemos fatorar
para legibilidade:
Passo 6
Agora calculemos as derivadas de
em relação a
.
Para
, a derivada da parte
em relação a
usa a regra para exponenciais com base constante:
se então
. Aqui
e
, logo
. Assim
se
Para
, derivando em
obtemos
pois
e
é constante em
.
Para
, derivando em
temos que
é constante e
. Então
Passo 7
Aplicando a Regra da Cadeia para
:
Substituindo os termos conhecidos (usar
):
Fatorando
: