Use a Regra da Cadeia (Caso Geral) para calcular \frac{\partial w}{\partial u} e \frac{\partial w}{\partial v}, onde
w=\ln \left(x^{4}+y^{4}+z^{4}\right), \quad x=u+2^{2 v}, \quad y=\operatorname{sen}(u)+\cos (v) \quad z=\frac{u^{3}}{v^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais \frac{\partial w}{\partial u} e \frac{\partial w}{\partial v}. As informações dadas são:
w=\ln\bigl(x^{4}+y^{4}+z^{4}\bigr),
x=u+2^{2v},
y=\operatorname{sen}(u)+\cos(v),
z=\frac{u^{3}}{v^{4}}.
Observações relevantes fornecidas pelo enunciado: x,y,z são funções de u e v; a função w depende de u,v apenas através de x,y,z. Note que z exige v\neq 0 para estar bem definida.

Passo 2

Vamos usar a Regra da Cadeia no caso geral para funções de várias variáveis. A ideia é: quando w depende de x,y,z e cada uma dessas depende de (u,v), a derivada parcial de w em relação a u é a soma das contribuições de cada caminho u\to x, u\to y, u\to z. Formalmente:
\frac{\partial w}{\partial u} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u}.
E análogamente,
\frac{\partial w}{\partial v} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial v}.
Agora vamos calcular cada termo passo a passo: primeiro as derivadas de w em relação a x,y,z, depois as derivadas de x,y,z em relação a u e v, e por fim montar as somas.

Passo 3

Calculemos \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial w}{\partial y} e \frac{\partial w}{\partial z}.
Defina S=x^{4}+y^{4}+z^{4}. Então w=\ln S. A derivada de \ln S em relação a x é, pela regra da cadeia unidimensional,
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{1}{S}\frac{\partial S}{\partial x}.
Como \frac{\partial S}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{4})=4x^{3}, obtemos
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{4x^{3}}{S}.
De modo análogo,
\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{4y^{3}}{S}, \qquad \frac{\partial w}{\partial z}=\frac{4z^{3}}{S}.

Passo 4

Agora calculemos as derivadas de x,y,z em relação a u.
Para x(u,v)=u+2^{2v} temos
\frac{\partial x}{\partial u}=1
porque a parte 2^{2v} é constante quando derivamos em relação a u.
Para y(u,v)=\operatorname{sen}(u)+\cos(v) (aqui \operatorname{sen} é o seno), temos
\frac{\partial y}{\partial u}=\cos(u),
pois \frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u) e \cos(v) é constante em u.
Para z(u,v)=\dfrac{u^{3}}{v^{4}}=u^{3}v^{-4}, tratamos v^{-4} como constante quando diferenciamos em u. Assim
\frac{\partial z}{\partial u}=3u^{2}v^{-4}=\frac{3u^{2}}{v^{4}}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da Regra da Cadeia para \frac{\partial w}{\partial u}:
\frac{\partial w}{\partial u} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u}.
Substituindo os resultados dos Passos 3 e 4:
\frac{\partial w}{\partial u} = \frac{4x^{3}}{S}\cdot 1 + \frac{4y^{3}}{S}\cdot \cos(u) + \frac{4z^{3}}{S}\cdot \frac{3u^{2}}{v^{4}}.
Podemos fatorar \dfrac{4}{S} para legibilidade:
\frac{\partial w}{\partial u} = \frac{4}{S}\left(x^{3}+y^{3}\cos(u)+z^{3}\frac{3u^{2}}{v^{4}}\right).

Passo 6

Agora calculemos as derivadas de x,y,z em relação a v.
Para x(u,v)=u+2^{2v}, a derivada da parte 2^{2v} em relação a v usa a regra para exponenciais com base constante:
se f(v)=a^{g(v)} então f'(v)=a^{g(v)}\ln(a)\,g'(v). Aqui a=2 e g(v)=2v, logo g'(v)=2. Assim
\frac{\partial x}{\partial v}=\frac{d}{dv}2^{2v}=2^{2v}\ln(2)\cdot 2=2\ln(2)\,2^{2v}.
Para y(u,v)=\sin(u)+\cos(v), derivando em v obtemos
\frac{\partial y}{\partial v}=-\sin(v),
pois \frac{d}{dv}\cos(v)=-\sin(v) e \sin(u) é constante em v.
Para z(u,v)=u^{3}v^{-4}, derivando em v temos que u^{3} é constante e (v^{-4})'=-4v^{-5}. Então
\frac{\partial z}{\partial v}=u^{3}\cdot(-4)v^{-5}=-\frac{4u^{3}}{v^{5}}.

Passo 7

Aplicando a Regra da Cadeia para \frac{\partial w}{\partial v}:
\frac{\partial w}{\partial v} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial v}.
Substituindo os termos conhecidos (usar S=x^{4}+y^{4}+z^{4}):
\frac{\partial w}{\partial v} = \frac{4x^{3}}{S}\cdot\bigl(2\ln(2)\,2^{2v}\bigr) + \frac{4y^{3}}{S}\cdot\bigl(-\sin(v)\bigr) + \frac{4z^{3}}{S}\cdot\bigl(-\frac{4u^{3}}{v^{5}}\bigr).
Fatorando \dfrac{4}{S}:
\frac{\partial w}{\partial v} = \frac{4}{S}\left(x^{3}\bigl(2\ln(2)\,2^{2v}\bigr)-y^{3}\sin(v)-z^{3}\frac{4u^{3}}{v^{5}}\right).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u}=\frac{4}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}\left(x^{3}+y^{3}\cos(u)+z^{3}\frac{3u^{2}}{v^{4}}\right)\n
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial v}=\frac{4}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}\left(x^{3}\bigl(2\ln(2)\,2^{2v}\bigr)-y^{3}\sin(v)-z^{3}\frac{4u^{3}}{v^{5}}\right)

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