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- Use o Teste da Derivada Segunda para determinar (caso existam) os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
- Use o Teste da Derivada Segunda para determinar (caso existam) os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Derivada Segunda para determinar, se existirem, os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função
Informações dadas:
Perguntas claras:
- Quais são os pontos críticos (onde o gradiente é zero)?
- Para cada ponto crítico, o que o Teste da Derivada Segunda diz: máximo local, mínimo local ou ponto de sela?
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem (essas derivadas formam o gradiente). Lembre: a derivada parcial de
em relação a
, escrita
ou
, trata
como constante; análogamente para
.
Calculemos:
Calculemos:
Um ponto crítico é um ponto
que satisfaz o sistema
, isto é:
Passo 3
Resolvendo o sistema linear
podemos usar eliminação ou observar que é um sistema homogêneo. Multiplicando a primeira equação por
dá
. Subtraindo a segunda equação
obtemos
, logo
. Substituindo em
vem
, então
.
Portanto o único ponto crítico é
Portanto o único ponto crítico é
Passo 4
Agora aplicamos o Teste da Derivada Segunda. Precisamos das segundas derivadas parciais:
O Hessiano é a matriz simétrica das segundas derivadas:
Definimos o discriminante do teste (determinante do Hessiano) por
Passo 5
Calculemos
:
Agora explico a regra do Teste da Derivada Segunda (muito usada em provas):
- Se
e no ponto crítico, então existe um mínimo local. - Se
e no ponto crítico, então existe um máximo local. - Se
, então o ponto crítico é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo local). - Se
, o teste é inconclusivo e é preciso outro método.
Aqui obtemos
. Pela regra, isso indica que
é um ponto de sela.
Como lembrete prático:
significa que a superfície em volta do ponto tem curvaturas com sinais opostos em direções diferentes — sobe numa direção e desce noutra — comportamento típico de sela.
Passo 6
Vou dar uma curta verificação alternativa (útil para intuição): escrevemos
como forma quadrática com matriz simétrica
:
porque
. As autovalores de
resolvem
logo
, isto é
e
. Como há um autovalor positivo e outro negativo, a forma quadrática é indefinida, o que confirma que o ponto crítico é uma sela (um eixo “para cima” e outro “para baixo”). Essa verificação é só para intuir o resultado; o teste da derivada segunda já deu a resposta.]
Passo 7
Conclusão e incentivo: encontramos apenas o ponto crítico
e, pelo Teste da Derivada Segunda (com
), esse ponto é um ponto de sela. Não há máximos nem mínimos locais para essa função. Você mandou bem pedindo esse exercício — quadráticas com termos cruzados costumam aparecer bastante; reconhecer a matriz da forma quadrática e olhar os sinais dos autovalores é uma ótima estratégia quando o teste direto não for suficiente.
Resposta
Ponto crítico:
— ponto de sela.
Não existem máximos nem mínimos locais.
Não existem máximos nem mínimos locais.