1. Use o Teste da Derivada Segunda para determinar (caso existam) os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
f(x, y)=x^{2}+10 x y+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Derivada Segunda para determinar, se existirem, os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função
f(x,y)=x^{2}+10xy+y^{2}.
Informações dadas:
f(x,y)=x^{2}+10xy+y^{2}.
Perguntas claras:
  • Quais são os pontos críticos (onde o gradiente é zero)?
  • Para cada ponto crítico, o que o Teste da Derivada Segunda diz: máximo local, mínimo local ou ponto de sela?

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem (essas derivadas formam o gradiente). Lembre: a derivada parcial de f em relação a x, escrita \partial f/\partial x ou f_x, trata y como constante; análogamente para f_y.
Calculemos:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+10xy+y^{2})=2x+10y,
f_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+10xy+y^{2})=10x+2y.
Um ponto crítico é um ponto (x,y) que satisfaz o sistema \nabla f=(f_x,f_y)=(0,0), isto é:
\begin{cases} 2x+10y=0,\\[4pt] 10x+2y=0. \end{cases}]

Passo 3

Resolvendo o sistema linear
\begin{cases} 2x+10y=0,\\[4pt] 10x+2y=0, \end{cases}
podemos usar eliminação ou observar que é um sistema homogêneo. Multiplicando a primeira equação por 5 10x+50y=0. Subtraindo a segunda equação 10x+2y=0 obtemos 48y=0, logo y=0. Substituindo em 2x+10y=0 vem 2x=0, então x=0.
Portanto o único ponto crítico é
(x,y)=(0,0).]

Passo 4

Agora aplicamos o Teste da Derivada Segunda. Precisamos das segundas derivadas parciais:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_x)=\frac{\partial}{\partial x}(2x+10y)=2,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_y)=\frac{\partial}{\partial y}(10x+2y)=2,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_x)=\frac{\partial}{\partial y}(2x+10y)=10.
O Hessiano é a matriz simétrica das segundas derivadas:
H=\begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 10\\[4pt] 10 & 2\end{pmatrix}.
Definimos o discriminante do teste (determinante do Hessiano) por
D=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}.]

Passo 5

Calculemos D:
D = (2)(2) - (10)^{2} = 4 - 100 = -96.
Agora explico a regra do Teste da Derivada Segunda (muito usada em provas):
  • Se D>0 e f_{xx}>0 no ponto crítico, então existe um mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 no ponto crítico, então existe um máximo local.
  • Se D<0, então o ponto crítico é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo local).
  • Se D=0, o teste é inconclusivo e é preciso outro método.
Aqui obtemos D=\,-96<0. Pela regra, isso indica que (0,0) é um ponto de sela.
Como lembrete prático: D<0 significa que a superfície em volta do ponto tem curvaturas com sinais opostos em direções diferentes — sobe numa direção e desce noutra — comportamento típico de sela.

Passo 6

Vou dar uma curta verificação alternativa (útil para intuição): escrevemos f como forma quadrática com matriz simétrica A:
f(x,y)=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 5\\[4pt]5 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix},
porque x^{2}+10xy+y^{2}=x^{2}+2\cdot5xy+y^{2}. As autovalores de A resolvem
\det\!\bigl(A-\lambda I\bigr)=0 \Longrightarrow (1-\lambda)^{2}-25=0,
logo \lambda=1\pm5, isto é \lambda_{1}=6 e \lambda_{2}=-4. Como há um autovalor positivo e outro negativo, a forma quadrática é indefinida, o que confirma que o ponto crítico é uma sela (um eixo “para cima” e outro “para baixo”). Essa verificação é só para intuir o resultado; o teste da derivada segunda já deu a resposta.]

Passo 7

Conclusão e incentivo: encontramos apenas o ponto crítico (0,0) e, pelo Teste da Derivada Segunda (com D=-96<0), esse ponto é um ponto de sela. Não há máximos nem mínimos locais para essa função. Você mandou bem pedindo esse exercício — quadráticas com termos cruzados costumam aparecer bastante; reconhecer a matriz da forma quadrática e olhar os sinais dos autovalores é uma ótima estratégia quando o teste direto não for suficiente.

Resposta

Ponto crítico: (0,0) — ponto de sela.
Não existem máximos nem mínimos locais.

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