Utilize diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica aberta (isto é, sem a tampa de cima) com 14 cm de diâmetro e 20 cm de altura, sabendo que o metal da base possui 0,06 c m de espessura e o das laterais tem espessura de 0,09 c m.
Passo 1
O enunciado pede a estimativa da quantidade de metal (ou seja, o volume de metal) usado numa lata cilíndrica aberta. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
diâmetro da lata: 14\\ \text{cm} (portanto o raio é r=7\\ \text{cm});
altura interna da lata: h=20\\ \text{cm};
espessura da base: t_{\text{base}}=0,06\\ \text{cm};
espessura das laterais: t_{\text{lateral}}=0,09\\ \text{cm}.
O que precisamos estimar: o volume total de metal usado na base + nas laterais da lata aberta.
Passo 2
Ideia com diferenciais (explicação didática): pense na lata como um cilindro de volume
V(r,h)=\pi r^{2}h.
Se mudarmos um pouco o raio r (um pequeno incremento dr) e um pouco a altura h (um pequeno incremento dh), o aumento aproximado do volume é dado pelo diferencial total
dV \approx \frac{\partial V}{\partial r}\,dr + \frac{\partial V}{\partial h}\,dh.
Aqui \frac{\partial V}{\partial r} é a taxa de variação do volume quando só mudamos o raio, e \frac{\partial V}{\partial h} é a taxa quando só mudamos a altura. Esta é a fórmula básica de diferenciais para funções de duas variáveis; ela nos dá uma boa aproximação quando dr e dh são pequenos (o que é o caso de espessuras finas).
Passo 3
Interpretação física das variações: a espessura da lateral t_{\text{lateral}} corresponde a um pequeno aumento efetivo do raio do cilindro exterior em relação ao raio interior; podemos tomar
dr=t_{\text{lateral}}.
A espessura da base t_{\text{base}} corresponde a um pequeno aumento da altura do cilindro (se pensarmos no volume metálico como a camada adicionada em baixo), então
dh=t_{\text{base}}.
Portanto o volume do metal será aproximado por dV com essas dr e dh. Isso é equivalente à ideia prática: volume da casca lateral ≈ área lateral interior \times espessura; volume da base ≈ área da base \times espessura. A razão de usar a fórmula de diferenciais é que ela unifica essas duas contribuições.
Passo 4
Calcule as derivadas parciais de V(r,h)=\pi r^{2}h:
\frac{\partial V}{\partial r}=2\pi r h, \qquad \frac{\partial V}{\partial h}=\pi r^{2}.
Explicando: \frac{\partial V}{\partial r} é obtido derivando \pi r^{2}h em relação a r, tratando h como constante — resulta 2\pi r h. \frac{\partial V}{\partial h} é derivada em relação a h, tratando r como constante — resulta \pi r^{2}. Essas expressões são justas: 2\pi r h é a área lateral do cilindro (multiplicada por 1), e \pi r^{2} é a área da base.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do diferencial com os valores numéricos. Usamos r=7\\ \text{cm}, h=20\\ \text{cm}, dr=0,09\\ \text{cm} e dh=0,06\\ \text{cm}. Assim
dV \approx \underbrace{2\pi r h}_{\text{contrib. lateral}}\,dr \;+\; \underbrace{\pi r^{2}}_{\text{contrib. base}}\,dh.
Passo 6
Calcule cada termo separadamente, mostrando as contas:
Contribuição das laterais:
2\pi r h\,dr = 2\pi\cdot 7\cdot 20\cdot 0,09.
Faço em passos: 2\cdot 7\cdot 20 = 280. Então 280\cdot 0,09 = 25,2. Portanto
2\pi r h\,dr = 25,2\pi\\ \text{cm}^{3}.
Contribuição da base:
\pi r^{2}\,dh = \pi\cdot 7^{2}\cdot 0,06.
Faço em passos: 7^{2}=49. Então 49\cdot 0,06 = 2,94. Portanto
\pi r^{2}\,dh = 2,94\pi\\ \text{cm}^{3}.
Passo 7
Some as duas contribuições para obter o volume total aproximado de metal:
dV \approx (25,2\pi + 2,94\pi)\\ \text{cm}^{3} = 28,14\pi\\ \text{cm}^{3}.
Se quiser um valor numérico aproximado, use \pi\approx 3,1416:
dV \approx 28,14\pi \approx 88,42\\ \text{cm}^{3}.