Determine a taxa de variação máxima das funções no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
f(x, y, z)=ln (x y z), no ponto (1,2,1)

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação máxima de
f(x,y,z)=ln(xyz)
no ponto (1,2,1) e a direção em que ela ocorre. Para isso vamos usar o conceito de gradiente: a direção de máxima variação de f é a direção do vetor nabla f e o valor máximo da derivada direcional é |nabla f|.

Passo 2

O gradiente de f(x,y,z) é
nabla f = l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr)
Como
f(x,y,z)=ln x+ln y+ln z,
temos
partial fpartial x=1x, partial fpartial y=1y, partial fpartial z=1z

Passo 3

Avalia-se o gradiente em (1,2,1):
nabla f(1,2,1) =l(tfrac11,,tfrac12,,tfrac11r) =(1,tfrac12,1)

Passo 4

A taxa de variação máxima é o módulo de nabla f(1,2,1):
|nabla f(1,2,1)| =raiz1^2+l(tfrac12r)^2+1^2 =raiztfrac94 =tfrac32

Passo 5

A direção de máxima variação é o vetor unitário na direção de nabla f(1,2,1):
u =nabla f(1,2,1)|nabla f(1,2,1)| =(1,tfrac12,1)tfrac32 =l(tfrac23,tfrac13,tfrac23r)

Resposta

A taxa de variação máxima em (1,2,1) é tfrac32 e ocorre na direção l(tfrac23,tfrac13,tfrac23r).

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