(6 pontos) Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(a) () Se A é invertível e
, então necessariamente
é a matriz nula.
(b) () A soma de duas matrizes invertíveis é sempre uma matriz invertível.
(c) ( ) Se A é uma matriz quadrada tal que
, então
.
(d) ()
.
(e) ( )
.
(f) () Não existe matriz real quadrada
tal que
.
(g) () Se
, então
.
(h) ()
.
(i) () Se
e
, então
é invertível.
(j) () Se
e
é par, então
.
(k) () Se
é invertível, então
também o é.
(l) () Se o sistema linear
admite as soluções
e
, então também admite
como solução, quaisquer que sejam os números reais
e $k_{2}.
(a) () Se A é invertível e
(b) () A soma de duas matrizes invertíveis é sempre uma matriz invertível.
(c) ( ) Se A é uma matriz quadrada tal que
(d) ()
(e) ( )
(f) () Não existe matriz real quadrada
(g) () Se
(h) ()
(i) () Se
(j) () Se
(k) () Se
(l) () Se o sistema linear
Passo 1
O enunciado apresenta doze afirmações sobre matrizes quadradas, envolvendo invertibilidade, determinantes e soluções de sistemas homogêneos. Vamos usar as propriedades de inversão (multiplicação por
), regra de escala em determinantes (
), nilpotência (
), positividade de
, e a estrutura de espaço de soluções de
.
Passo 2
(a) Se
é invertível (
) e
, então multiplico à esquerda por
para obter
Logo,
é a matriz nula. A afirmação é sempre verdadeira.
Passo 3
(b) A soma de duas matrizes invertíveis nem sempre é invertível. Exemplo simples em
:
que não é invertível. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
(c) Se
, consideramos
Analogamente
. Logo
. A afirmação é sempre verdadeira.
Passo 5
(d) Em
, tem-se
, não
salvo
. Logo a fórmula dada é falsa em geral.
Passo 6
(e) Não existe identidade geral
. Por exemplo, em
:
Logo a afirmação é falsa.
Passo 7
(f) Para toda
,
é simétrica semidefinida positiva, então seus autovalores são
e
Não pode ser
. A afirmação é sempre verdadeira.
Passo 8
(g) Como
, segue
. Não podemos concluir sempre
. A afirmação é falsa.
Passo 9
(h) Não há regra
. Em
com
:
Falsa.
Passo 10
(i) Se
então
é invertível e
implica
, que não é invertível. A afirmação é falsa.
Passo 11
(j) Em dimensão par
,
. Logo a afirmação é sempre verdadeira.
Passo 12
(k) Se
é invertível então
, logo
é invertível e
também (pois
). A afirmação é verdadeira.
Passo 13
(l) O sistema homogêneo
tem espaço de soluções fechado sob combinação linear, pois
A afirmação é sempre verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(e) Falsa
(f) Verdadeira
(g) Falsa
(h) Falsa
(i) Falsa
(j) Verdadeira
(k) Verdadeira
(l) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(e) Falsa
(f) Verdadeira
(g) Falsa
(h) Falsa
(i) Falsa
(j) Verdadeira
(k) Verdadeira
(l) Verdadeira