(6 pontos) Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(a) () Se A é invertível e A B=0, então necessariamente B é a matriz nula.
(b) () A soma de duas matrizes invertíveis é sempre uma matriz invertível.
(c) ( ) Se A é uma matriz quadrada tal que A^4=0, então (I-A)^-1=I+A+A^2+A^3.
(d) () det(2 A)=2 det(A).
(e) ( ) det(I+A)=1+det(A).
(f) () Não existe matriz real quadrada A tal que det(A cdot A^T)=-1.
(g) () Se det(A cdot A^T)=4, então det(A)=2.
(h) () det(A+B)=det(A)+det(B).
(i) () Se det(A) neq 0 e A B=0, então B é invertível.
(j) () Se A in Mn(R) e n é par, então det(A)=det(-A).
(k) () Se A^100 é invertível, então 3 A também o é.
(l) () Se o sistema linear A X=0 admite as soluções X1 e X2, então também admite
k1 X1+k2 X2
como solução, quaisquer que sejam os números reais k1 e $k_{2}.

Passo 1

O enunciado apresenta doze afirmações sobre matrizes quadradas, envolvendo invertibilidade, determinantes e soluções de sistemas homogêneos. Vamos usar as propriedades de inversão (multiplicação por A^-1), regra de escala em determinantes ( det(cA)=c^ndet(A)), nilpotência ( A^k=0), positividade de AA^T, e a estrutura de espaço de soluções de AX=0.

Passo 2

(a) Se A é invertível ( det(A)neq0) e AB=0, então multiplico à esquerda por A^-1 para obter
A^-1(AB)=A^-10implies B=0
Logo, B é a matriz nula. A afirmação é sempre verdadeira.

Passo 3

(b) A soma de duas matrizes invertíveis nem sempre é invertível. Exemplo simples em Mn(R):
I + (-I)=0,
que não é invertível. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

(c) Se A^4=0, consideramos
(I-A)(I+A+A^2+A^3)=I - A^4 = I
Analogamente (I+A+A^2+A^3)(I-A)=I. Logo (I-A)^-1=I+A+A^2+A^3. A afirmação é sempre verdadeira.

Passo 5

(d) Em ntimes n, tem-se det(2A)=2^ndet(A), não 2det(A) salvo n=1. Logo a fórmula dada é falsa em geral.

Passo 6

(e) Não existe identidade geral det(I+A)=1+det(A). Por exemplo, em M2(R):
det(I2+I2)=det(2I2)=2^2=4neq1+1=2
Logo a afirmação é falsa.

Passo 7

(f) Para toda Ain Mn(R), AA^T é simétrica semidefinida positiva, então seus autovalores são >=0 e
det(AA^T)=prod(autovalores)>=0
Não pode ser -1. A afirmação é sempre verdadeira.

Passo 8

(g) Como det(AA^T)=det(A)det(A^T)=det(A)^2=4, segue det(A)=pm2. Não podemos concluir sempre +2. A afirmação é falsa.

Passo 9

(h) Não há regra det(A+B)=det(A)+det(B). Em M2(R) com A=B=I2:
det(A+B)=det(2I2)=4, det(A)+det(B)=1+1=2
Falsa.

Passo 10

(i) Se det(A)neq0 então A é invertível e AB=0 implica B=0, que não é invertível. A afirmação é falsa.

Passo 11

(j) Em dimensão par n, det(-A)=(-1)^ndet(A)=det(A). Logo a afirmação é sempre verdadeira.

Passo 12

(k) Se A^100 é invertível então det(A^100)neq0impliesdet(A)neq0, logo A é invertível e 3A também (pois det(3A)=3^ndet(A)neq0). A afirmação é verdadeira.

Passo 13

(l) O sistema homogêneo AX=0 tem espaço de soluções fechado sob combinação linear, pois
A(k1X1+k2X2)=k1AX1+k2AX2=0+0=0
A afirmação é sempre verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(e) Falsa
(f) Verdadeira
(g) Falsa
(h) Falsa
(i) Falsa
(j) Verdadeira
(k) Verdadeira
(l) Verdadeira

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