Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
f(s, t)=ss^2+t^2, (-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar qual é a taxa de variação máxima da função $ f(s, t) = \frac{s}{s^{2} + t^{2}} $ no ponto f(s, t) = ss^2 + t^2 e também descobrir em que direção essa variação máxima acontece. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais e o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ s $ e $ t $. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Para $ \frac{\partial f}{\partial s} $:
f
Para $ \frac{\partial f}{\partial t} $:
s

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função $ f $ no ponto f . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais que nos dá a direção da maior taxa de variação.
Substituindo $ s = -1 $ e $ t = 1 $ nas derivadas:
(-1, 1)
s = -1
Então, o gradiente no ponto t = 1 é:
partial fpartial s g|(-1,1) = 1^2 - (-1)^2((-1)^2 + 1^2)^2 = 1 - 1(1 + 1)^2 = 04 = 0

Passo 4

A taxa de variação máxima é dada pelo módulo do gradiente. Vamos calcular isso:
|nabla f(-1, 1)| = raiz0^2 + (12)^2 = raiz0 + 14 = 12

Passo 5

Para achar a direção em que ocorre essa taxa máxima, vamos normalizar o gradiente para obter um vetor unitário. Como o gradiente já é (0, 12), a direção é a mesma.
Então, a direção da taxa de variação máxima é na direção do vetor:
(0, 1)

Resposta

A taxa de variação máxima de $ f $ no ponto f é $ \frac{1}{2} $ e ocorre na direção do vetor $ (0, , 1) $.

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