Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar qual é a taxa de variação máxima da função $ f(s, t) = \frac{s}{s^{2} + t^{2}} $ no ponto e também descobrir em que direção essa variação máxima acontece. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais e o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ s $ e $ t $. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Para $ \frac{\partial f}{\partial s} $:
Para $ \frac{\partial f}{\partial t} $:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função $ f $ no ponto . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais que nos dá a direção da maior taxa de variação.
Substituindo $ s = -1 $ e $ t = 1 $ nas derivadas:
Para achar a direção em que ocorre essa taxa máxima, vamos normalizar o gradiente para obter um vetor unitário. Como o gradiente já é (0, 12), a direção é a mesma.
Então, a direção da taxa de variação máxima é na direção do vetor:
(0, 1)
Resposta
A taxa de variação máxima de $ f $ no ponto f é $ \frac{1}{2} $ e ocorre na direção do vetor $ (0, , 1) $.