Resolva as seguintes EDO separáveis isolando a solução y(t) sempre que seja possível (não esqueça encontrar também as soluções de equilíbrio caso elas existam):
y^prime(t)-t^3 y^2(t)=t^3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem y'(t)-t^3y^2(t)=t^3, que é separável. Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral y(t) e também verificar se existem soluções de equilíbrio constantes.

Passo 2

Para achar soluções de equilíbrio, fazemos y'(t)=0. Da equação original isso dá
0 - t^3y^2 = t^3
ou seja
t^3igl(y^2+1r)=0 
Como y^2+1>0 para todo y real, a única possibilidade seria t^3=0, o que não define uma solução constante sobre todo o domínio. Logo, não há soluções de equilíbrio reais.

Passo 3

Reescrevemos a EDO na forma separável. Da equação original temos
y' = t^3igl(y^2+1r) 
Isso equivale a
dyy^2+1 = t^3,dt

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. No lado esquerdo usamos integral dy/(y^2+1)=arctan(y) e no direito integral t^3,dt = t^4/4 + C. Obtemos
arctan(y) = t^44 + C

Passo 5

Por fim, isolamos y aplicando a tangente nos dois lados:
y(t) = tanl(t^44 + Cr),
onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral é y(t)=tanl(t^44+Cr), e não existem soluções de equilíbrio reais.

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