Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime(t)+2 y(t) y^prime(t)=2 t, com y(2)=0

Passo 1

Temos o problema de valor inicial dado por
Temos a EDO
y^prime(t) + 2,y(t),y^prime(t) = 2t
com a condição inicial y(2)=0. O conteúdo aqui é EDO de primeira ordem e vamos usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o termo y'(t) para isolar a derivada:
y^prime(t) l(1 + 2y(t)r) = 2t
Isso permite escrever
y^prime(t) = 2t1 + 2y(t).

Passo 3

Agora separamos as variáveis, passando o termo com y para um lado e o termo com t para o outro:
(1 + 2y),dy = 2t,dt.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral (1 + 2y),dy = integral 2t,dt
O que nos dá
y + y^2 = t^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(2)=0 para achar C:
Substituindo t=2 e y=0 em y + y^2 = t^2 + C temos
0 + 0 = 4 + C implies C = -4
Logo a relação implícita fica
y^2 + y = t^2 - 4

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática para y:
y^2 + y - (t^2 - 4) = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
y = -1 pm raiz1 + 4(t^2 - 4)2 = -1 pm raiz4t^2 - 152
Para satisfazer y(2)=0, usamos o sinal +:
y(t) = -1 + raiz4t^2 - 152

Passo 7

O domínio da solução exige 4t^2 - 15 >= 0, ou seja |t| >= raiz15/2. Como a condição inicial é em t=2, consideramos t >= 2.

Resposta

y(t) = dfrac-1 + raiz4t^2 - 152, t >= 2

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