Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
f(x, y)=y^2x, (1,2)

Passo 1

Temos a função f(x,y)=y²/x e queremos a taxa de variação máxima no ponto (1,2). O conteúdo aqui é derivada direcional e gradiente, e vamos precisar calcular ∇f e depois obter sua magnitude e direção.

Passo 2

Aplicando derivadas parciais em relação a x e y, obtemos:
partial fpartial x(x,y) = -y^2x^2,
partial fpartial y(x,y) = 2yx

Passo 3

Avaliando essas expressões no ponto (1,2), temos:
partial fpartial x(1,2) = -4,partial fpartial y(1,2) = 4

Passo 4

O gradiente em (1,2) é ∇f(1,2)=(-4,4). A taxa de variação máxima é o módulo desse vetor:
|nabla f(1,2)| = raiz(-4)^2 + 4^2 = 4raiz2

Passo 5

A direção de máxima variação é o vetor unitário na direção do gradiente. Logo:
u = nabla f(1,2)|nabla f(1,2)| = (-1raiz2,,1raiz2)

Resposta

Taxa de variação máxima = 4√2, na direção (–1/√2, 1/√2).

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