Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
,
Passo 1
Temos a função f(x,y)=y²/x e queremos a taxa de variação máxima no ponto (1,2). O conteúdo aqui é derivada direcional e gradiente, e vamos precisar calcular ∇f e depois obter sua magnitude e direção.
Passo 2
Aplicando derivadas parciais em relação a x e y, obtemos:
Passo 3
Avaliando essas expressões no ponto (1,2), temos:
Passo 4
O gradiente em (1,2) é ∇f(1,2)=(-4,4). A taxa de variação máxima é o módulo desse vetor:
Passo 5
A direção de máxima variação é o vetor unitário na direção do gradiente. Logo:
Resposta
Taxa de variação máxima = 4√2, na direção (–1/√2, 1/√2).