Determine as taxas de variação máxima e mínima de f no ponto dado e a direção em que ambos ocorrem
f(x, y)=sin (x y), P=(1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir as taxas de variação máxima e mínima da função $ f(x, y) = \sin(xy) $ no ponto $ P = (1, 0) $. Isso tá ligado ao cálculo multivariável, mais especificamente ao estudo das derivadas parciais e do gradiente. Pra resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função nesse ponto e entender como ele determina as direções de variação máxima e mínima.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a taxa de variação de uma função em uma direção específica é dada pelo produto escalar do gradiente da função com um vetor unitário nessa direção. Então, pra encontrar as taxas máximas e mínimas, precisamos encontrar o gradiente de $ f $ no ponto $ P $.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de $ f(x, y) = \sin(xy) $:
f(x, y) = sin(xy)
fx = partial fpartial x = y cos(xy)

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto $ P = (1, 0) $:
P = (1, 0)
fx(1, 0) = 0 cdot cos(1 cdot 0) = 0

Passo 5

Então, o gradiente de $ f $ no ponto $ P $ é:
f

Passo 6

A taxa de variação máxima ocorre na direção do próprio gradiente. Já a taxa de variação mínima ocorre na direção oposta ao gradiente. Além disso, a magnitude do gradiente nos dá a taxa de variação máxima.

Passo 7

A direção da taxa de variação máxima é dada pelo vetor gradiente:
umáx = nabla f(1, 0)||nabla f(1, 0)|| = (0, 1)raiz0^2 + 1^2 = (0, 1) á
A direção da taxa de variação mínima é o vetor oposto:
umín = -umáx = (0, -1) íá

Passo 8

A magnitude do gradiente nos dá a taxa de variação máxima:
Taxa máxima = ||nabla f(1, 0)|| = raiz0^2 + 1^2 = 1 á
E a taxa de variação mínima é o negativo da taxa máxima:
Taxa mínima = -||nabla f(1, 0)|| = -1 í

Resposta

No ponto $ P = (1, 0) $, a taxa de variação máxima de $ f $ é $ 1 $ na direção $ (0, 1) $ e a taxa de variação mínima é $ -1 $ na direção $ (0, -1) $.

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