Determine as taxas de variação máxima e mínima de
no ponto dado e a direção em que ambos ocorrem
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir as taxas de variação máxima e mínima da função $ f(x, y) = \sin(xy) $ no ponto $ P = (1, 0) $. Isso tá ligado ao cálculo multivariável, mais especificamente ao estudo das derivadas parciais e do gradiente. Pra resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função nesse ponto e entender como ele determina as direções de variação máxima e mínima.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a taxa de variação de uma função em uma direção específica é dada pelo produto escalar do gradiente da função com um vetor unitário nessa direção. Então, pra encontrar as taxas máximas e mínimas, precisamos encontrar o gradiente de $ f $ no ponto $ P $.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de $ f(x, y) = \sin(xy) $:
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto $ P = (1, 0) $:
Passo 5
Então, o gradiente de $ f $ no ponto $ P $ é:
Passo 6
A taxa de variação máxima ocorre na direção do próprio gradiente. Já a taxa de variação mínima ocorre na direção oposta ao gradiente. Além disso, a magnitude do gradiente nos dá a taxa de variação máxima.
Passo 7
A direção da taxa de variação máxima é dada pelo vetor gradiente:
A direção da taxa de variação mínima é o vetor oposto:
Passo 8
A magnitude do gradiente nos dá a taxa de variação máxima:
E a taxa de variação mínima é o negativo da taxa máxima:
Resposta
No ponto $ P = (1, 0) $, a taxa de variação máxima de $ f $ é $ 1 $ na direção $ (0, 1) $ e a taxa de variação mínima é $ -1 $ na direção $ (0, -1) $.