Em cada item abaixo, determine o vetor gradiente, o vetor gradiente no ponto
e calcule a derivada direcional no ponto
e na direção do vetor unitário associado a
.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e um ponto específico $ P = (3, 4) $. O que a gente precisa fazer é encontrar o vetor gradiente dessa função, calcular esse vetor no ponto $ P $, e depois achar a derivada direcional nesse ponto na direção do vetor $ \vec{v} = (1, 1) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de uma função. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial.
Derivada parcial em relação a $ x $:
Usando a regra da cadeia:
Derivada parcial em relação a $ y $:
De forma análoga,
Então, o vetor gradiente fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o vetor gradiente no ponto $ P = (3, 4) $. Basta substituir $ x = 3 $ e $ y = 4 $ na expressão do gradiente que encontramos.
Isso porque $ \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a direção do vetor unitário associado a $ \vec{v} = (1, 1) $. Para isso, precisamos normalizar o vetor $ \vec{v} $.
Primeiro, calculamos o módulo de $ \vec{v} $:
Então, o vetor unitário $ \vec{u} $ na direção de $ \vec{v} $ é:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a derivada direcional de $ f $ no ponto $ P $ na direção de $ \vec{u} $. A fórmula para a derivada direcional é:
Onde “·” representa o produto escalar entre os vetores. Vamos substituir os valores:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
Resposta
O vetor gradiente de $ f $ é $ \nabla f = \left( \dfrac{x}{\sqrt{x{2}+y{2}}}, \dfrac{y}{\sqrt{x{2}+y{2}}} \right) $, o vetor gradiente no ponto $ P $ é $ \nabla f§ = \left( \dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5} \right) $, e a derivada direcional no ponto $ P $ na direção de $ \vec{v} $ é $ D_{\vec{u}} f = \dfrac{7}{5\sqrt{2}} $.