Diga se as séries seguintes são majoráveis sobre o segmentos indicados
sum x^nn^2(0 <= x <= 1) R. majorável.

Passo 1

O enunciado pede pra vermos se a série sumn=1^infty x^nn^2 é majorável (isto é, converge uniformemente) no intervalo [0,1]. O conteúdo é teste de Weierstrass (ou M-teste) para séries de funções.

Passo 2

Para aplicar o M-teste, precisamos encontrar uma sequência Mn com |fn(x)|<= Mn em [0,1] e tal que sum Mn convirja.
Note que, para todo xin[0,1], vale |x^n|=x^n<=1. Então

Passo 3

Portanto, podemos escolher Mn=1/n^2. Sabemos que sumn=1^infty 1n^2 é convergente (série p com p=2>1).

Passo 4

Pelo teste de Weierstrass, como sum Mn converge, a série original converge uniformemente em [0,1], ou seja, é majorável.

Resposta

A série sumn=1^infty x^nn^2 é majorável no intervalo [0,1].

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