Determine
[T]B2^B2 para as transformações T e as bases B1 e B2 dadas abaixo:
(1) T: R^3 R^4, T(x, y, z)=(x+y+z, x-z, x+y, x+2 y+3 z), B 1=(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1) B2=(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,0,0,1) ;

Passo 1

O enunciado pede a matriz de TcolonR^3toR^4 em que a base do domínio é
B1=b1=(1,0,1),,b2=(0,1,1),,b3=(0,0,1)
e a base do contradomínio é
B2=v1=(1,1,0,0),,v2=(0,1,1,0),,v3=(0,0,1,1),,v4=(0,0,0,1)
Para montar [T]B1^B2, vamos calcular T(bi) e depois expressar cada resultado como combinação linear dos vetores de B2.

Passo 2

Calcular T nos vetores de B1:
T(x,y,z)=(x+y+z,;x-z,;x+y,;x+2y+3z)
Para b1=(1,0,1):
T(1,0,1)=(1+0+1,;1-1,;1+0,;1+0+3) =(2,0,1,4)
Para b2=(0,1,1):
T(0,1,1)=(0+1+1,;0-1,;0+1,;0+2+3) =(2,-1,1,5)
Para b3=(0,0,1):
T(0,0,1)=(0+0+1,;0-1,;0+0,;0+0+3) =(1,-1,0,3)

Passo 3

Expressar cada
Para resolvemos
que dá resolvemos
que dá resolvemos
que dá ((c_1,c_2,c_3,c_4)=(1,-2,2,1)].

Passo 4

Colocando esses coeficientes como colunas na ordem b1,b2,b3, obtemos
[T]B1^B2 = 2 & 2 & 1 -2& -3& -2 3 & 4 & 2 1 & 1 & 1

Resposta

[T]B1^B2 = 2 & 2 & 1 -2& -3& -2 3 & 4 & 2 1 & 1 & 1

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