Determine
[T]B2^B2 para as transformações T e as bases B1 e B2 dadas abaixo:
(3) T: R^2 R^2, T(x, y)=(x+y, x-y)
B1=(1,0),(0,1) B2=(-1,0),(0,-1))

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^2toR^2, T(x,y)=(x+y,;x-y)
e a base
B2=,(-1,0),;(0,-1).
Queremos a matriz [T]B2^B2, cujas colunas são as coordenadas de T aplicadas aos vetores de B2, expressas em B2.

Passo 2

Calcule T no primeiro vetor de B2:
T(-1,0)=(-1+0,;-1-0)=(-1,-1)
Agora escrevemos (-1,-1) como combinação linear de (-1,0) e (0,-1):
(-1,-1)=alpha,(-1,0)+beta,(0,-1)=(-alpha,,-beta)
Para obter -alpha=-1 e -beta=-1 precisamos de alpha=1 e beta=1.
Logo, a primeira coluna de [T]B2^B2 é
11

Passo 3

Calcule T no segundo vetor de B2:
T(0,-1)=(0-1,;0-(-1))=(-1,1)
Expressando (-1,1) em B2:
(-1,1)=alpha,(-1,0)+beta,(0,-1)=(-alpha,,-beta)
Daí -alpha=-1 alpha=1 e -beta=1 beta=-1.
Assim, a segunda coluna é
1-1

Resposta

[T]B2^B2 = 1 & 1 1 & -1

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