Sabendo que sen(x+y)=sen(x) cos (y)+cos (x) sen(y) e cos (x+y)= cos (x) cos (y)-sen(x) sen(y), calcule: sen(75^circ)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular sen(75^circ). A matéria que vamos usar aqui é trigonometria, especificamente as fórmulas de adição para seno e cosseno. Vamos precisar das identidades:
sen(x+y) = sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y)
cos(x+y) = cos(x) cos(y) - sen(x) sen(y)

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como podemos escrever 75^circ como a soma de dois ângulos cujos senos e cossenos a gente já conhece. Uma combinação fácil é 75^circ = 45^circ + 30^circ.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula do seno da soma:
sen(75^circ) = sen(45^circ + 30^circ) = sen(45^circ) cos(30^circ) + cos(45^circ) sen(30^circ)

Passo 4

Vamos lembrar dos valores de seno e cosseno para esses ângulos:
  • sen(45^circ) = raiz22
  • cos(30^circ) = raiz32
  • cos(45^circ) = raiz22
  • sen(30^circ) = 12

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula:
sen(75^circ) = (raiz22) (raiz32) + (raiz22) (12)

Passo 6

Multiplicando os termos:
sen(75^circ) = raiz64 + raiz24

Passo 7

Agora, podemos somar as frações:
sen(75^circ) = raiz6 + raiz24

Resposta

Portanto, sen(75^circ) = raiz6 + raiz24 approx 0,9659.

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