Determine a temperatura u(x, t) em cada ponto de uma barra uniforme de comprimento 30, que satisfaz a equação diferencial
partial^2 upartial x^2=1alpha^2 partial upartial t ; 00
com alpha^2=1, dado que a extremidade x=30 é isolada, tal que não haja fluxo de calor através dela, isto é,
ux(30, t)=0
enquanto que a extremidade x=0 é mantida à temperatura zero, isto é:
u(0, t)=0,
e sabendo que a barra está inicialmente à temperatura 20^circ C, uniforme, isto é:
u(x, 0)=20^circ C

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma barra de comprimento 30 unidades que está com uma temperatura inicial de 20^circ C em toda a sua extensão. A barra está sofrendo mudanças de temperatura ao longo do tempo, e queremos descobrir como essa temperatura u(x, t) varia em cada ponto x da barra ao longo do tempo t.
Para resolver isso, vamos usar a equação do calor, que é uma equação diferencial parcial que descreve como a temperatura se distribui em um material ao longo do tempo. Além disso, precisamos considerar as condições de contorno: uma extremidade da barra está mantida a 0^circ C e a outra está isolada, ou seja, não há fluxo de calor passando por ela.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação do calor para o nosso problema. A equação dada é:
partial^2 upartial x^2 = 1alpha^2 partial upartial t
Sabemos que alpha^2 = 1, então a equação simplifica para:
partial^2 upartial x^2 = partial upartial t
Essa equação nos diz como a curvatura da temperatura em relação à posição x está relacionada à taxa de variação da temperatura no tempo t.

Passo 3

Agora, vamos usar o método da separação de variáveis para resolver essa equação. A ideia aqui é assumir que a solução u(x, t) pode ser escrita como o produto de duas funções independentes, uma que depende apenas de x e outra que depende apenas de t:
u(x, t) = X(x) cdot T(t)
Substituindo isso na equação do calor, temos:
X''(x) cdot T(t) = X(x) cdot T'(t)
Aqui, X''(x) é a segunda derivada de X em relação a x, e T'(t) é a primeira derivada de T em relação a t.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
X''(x)X(x) = T'(t)T(t) = -lambda
Aqui, lambda é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
  1. Para X(x):
    X''(x) + lambda X(x) = 0
  2. Para T(t):
    T'(t) + lambda T(t) = 0

Passo 5

Primeiro, vamos resolver para X(x). A equação diferencial ordinária é:
X''(x) + lambda X(x) = 0
As soluções dessa equação dependem do valor de lambda. Para termos soluções não triviais (ou seja, diferentes de zero), lambda deve ser positivo. Vamos definir lambda = (npi30)^2, onde n é um número inteiro positivo. Assim, a solução geral para X(x) é:
Xn(x) = An cos(npi x30) + Bn sin(npi x30)

Passo 6

Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes An e Bn.
  1. Extremidade x = 0: A temperatura é mantida em 0^circ C, ou seja, u(0, t) = 0.
    Substituindo x = 0 na solução de X(x):
    Xn(0) = An cos(0) + Bn sin(0) = An = 0
    Portanto, An = 0, e a solução simplifica para:
    Xn(x) = Bn sin(npi x30)
  2. Extremidade x = 30: A barra está isolada, o que implica que o fluxo de calor é zero. Matematicamente, isso significa que a derivada da temperatura em relação a x é zero:
    partial upartial x|x=30 = 0
    Calculando a derivada de Xn(x):
    X'n(x) = npi30 Bn cos(npi x30)
    Aplicando x = 30:
    X'n(30) = npi30 Bn cos(npi) = 0
    Sabemos que cos(npi) = (-1)^n, então para que isso seja zero, Bn deve ser zero para todas as n. Mas isso resultaria em uma solução trivial ( u(x, t) = 0). Portanto, precisamos ajustar nossa escolha de lambda.
    Em vez disso, para atender às condições de contorno não triviliais, revisamos a forma das soluções e adotamos funções cosseno que satisfazem a condição de derivada zero na extremidade isolada:
    A solução adequada para Xn(x) é:
    Xn(x) = Bn cos((2n-1)pi x60)
    Isso garante que a derivada em x = 30 seja zero.

Passo 7

Agora, resolvemos para T(t) usando a equação diferencial:
T'(t) + lambda T(t) = 0
Onde lambda = ((2n-1)pi60)^2. A solução dessa equação é:
Tn(t) = Cn e^-lambda t = Cn e^-((2n-1)pi60)^2 t

Passo 8

Juntando as soluções de Xn(x) e Tn(t), temos a solução geral de u(x, t):
u(x, t) = sumn=1^infty Bn cos((2n-1)pi x60) e^-((2n-1)pi60)^2 t

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial para determinar os coeficientes Bn. Sabemos que inicialmente, toda a barra está a 20^circ C:
u(x, 0) = 20 = sumn=1^infty Bn cos((2n-1)pi x60)
Essa é uma série de Fourier que representa a função constante 20. Calculando os coeficientes Bn, encontramos:
Bn = 40(2n-1)pi [1 - (-1)^n]

Resposta

Portanto, a temperatura u(x, t) em cada ponto da barra ao longo do tempo é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty 40(2n-1)pi [1 - (-1)^n] cos((2n-1)pi x60) e^-((2n-1)pi60)^2 t

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