Determine a temperatura em cada ponto de uma barra uniforme de comprimento 30, que satisfaz a equação diferencial
, dado que a extremidade é isolada, tal que não haja fluxo de calor através dela, isto é,
enquanto que a extremidade é mantida à temperatura zero, isto é:
e sabendo que a barra está inicialmente à temperatura , uniforme, isto é:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma barra de comprimento 30 unidades que está com uma temperatura inicial de C em toda a sua extensão. A barra está sofrendo mudanças de temperatura ao longo do tempo, e queremos descobrir como essa temperatura varia em cada ponto da barra ao longo do tempo .
Para resolver isso, vamos usar a equação do calor, que é uma equação diferencial parcial que descreve como a temperatura se distribui em um material ao longo do tempo. Além disso, precisamos considerar as condições de contorno: uma extremidade da barra está mantida a C e a outra está isolada, ou seja, não há fluxo de calor passando por ela.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação do calor para o nosso problema. A equação dada é:
Sabemos que , então a equação simplifica para:
Essa equação nos diz como a curvatura da temperatura em relação à posição está relacionada à taxa de variação da temperatura no tempo .
Passo 3
Agora, vamos usar o método da separação de variáveis para resolver essa equação. A ideia aqui é assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções independentes, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Substituindo isso na equação do calor, temos:
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada de em relação a .
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
Para :
Para :
Passo 5
Primeiro, vamos resolver para . A equação diferencial ordinária é:
As soluções dessa equação dependem do valor de . Para termos soluções não triviais (ou seja, diferentes de zero), deve ser positivo. Vamos definir , onde é um número inteiro positivo. Assim, a solução geral para é:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes e .
Extremidade : A temperatura é mantida em C, ou seja, .
Substituindo na solução de :
Portanto, , e a solução simplifica para:
Extremidade : A barra está isolada, o que implica que o fluxo de calor é zero. Matematicamente, isso significa que a derivada da temperatura em relação a é zero:
Calculando a derivada de Xn(x):
X'n(x) = npi30 Bn cos(npi x30)
Aplicando x = 30:
X'n(30) = npi30 Bn cos(npi) = 0
Sabemos que cos(npi) = (-1)^n, então para que isso seja zero, Bn deve ser zero para todas as n. Mas isso resultaria em uma solução trivial (u(x, t) = 0). Portanto, precisamos ajustar nossa escolha de lambda.
Em vez disso, para atender às condições de contorno não triviliais, revisamos a forma das soluções e adotamos funções cosseno que satisfazem a condição de derivada zero na extremidade isolada:
A solução adequada para Xn(x) é:
Xn(x) = Bn cos((2n-1)pi x60)
Isso garante que a derivada em x = 30 seja zero.
Passo 7
Agora, resolvemos para T(t) usando a equação diferencial:
T'(t) + lambda T(t) = 0
Onde lambda = ((2n-1)pi60)^2. A solução dessa equação é:
Tn(t) = Cn e^-lambda t = Cn e^-((2n-1)pi60)^2 t
Passo 8
Juntando as soluções de Xn(x) e Tn(t), temos a solução geral de u(x, t):
u(x, t) = sumn=1^infty Bn cos((2n-1)pi x60) e^-((2n-1)pi60)^2 t
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial para determinar os coeficientes Bn. Sabemos que inicialmente, toda a barra está a 20^circ C:
u(x, 0) = 20 = sumn=1^infty Bn cos((2n-1)pi x60)
Essa é uma série de Fourier que representa a função constante 20. Calculando os coeficientes Bn, encontramos:
Bn = 40(2n-1)pi [1 - (-1)^n]
Resposta
Portanto, a temperatura u(x, t) em cada ponto da barra ao longo do tempo é dada por: