Determine a temperatura de estado estacionário u(x, y) em uma chapa definida por x \geq 0, y \geq 0 se a fronteira x=0 tem-se u(0, y)=0, e em y=0, tem-se
u(x, 0)=\left\{\begin{array}{c} 10,0<x<1 \\\\ 0, x>1 \end{array}, \quad u_{y}(x, 0)=0\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução u(x,y)\) da equação de Laplace em regime permanente no primeiro quadrante \(\{x\ge0,\;y\ge0\}\), com condições de contorno \[u(0,y)=0\quad(y\ge0),
u(x,0)=\begin{cases}10,&0<x<1,\\\ 0,&x>1,\end{cases}\qquad u_{y}(x,0)=0\quad(x>1).
O conteúdo é resolução de problema de Dirichlet–Neumann mista num semi‐espaço em y\ge0\] com parede condutora em \(x=0. Vamos usar a extensão ímpar em x e aplicar a fórmula de Poisson para o semiplano y>0.

Passo 2

Definimos a extensão ímpar
f(\xi)= \begin{cases} 10,&0<\xi<1,\\\\ 0,&\xi>1,\\\\ -\,f(-\xi),&\xi<0, \end{cases}
de modo que f seja definida em todo \mathbb{R} e f(0)=0. Então a função
v(x,y)= \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{y\,f(\xi)}{(x-\xi)^2+y^2}\,d\xi
satisfaz \Delta v=0 em y>0 e v(x,0)=f(x). Como f é ímpar, v(0,y)=0, garantindo u(x,y)=v(x,y) satisfaz u(0,y)=0.

Passo 3

Como f(\xi) só difere de zero em \xi\in(0,1) e é ímpar, escrevemos
u(x,y) =\frac{1}{\pi}\Biggl[\int_{0}^{1}\frac{y\,(10)}{(x-\xi)^2+y^2}\,d\xi +\int_{-1}^{0}\frac{y\,f(\xi)}{(x-\xi)^2+y^2}\,d\xi\Biggr].
Na segunda integral, use \xi=-\eta e f(-\eta)=-10 para \eta\in(0,1), obtendo
u(x,y) =\frac{10}{\pi}\int_{0}^{1}y\, \Bigl[\tfrac{1}{(x-\xi)^2+y^2}-\tfrac{1}{(x+\xi)^2+y^2}\Bigr] \,d\xi.

Passo 4

Para calcular as duas integrais use
\int_{0}^{1}\frac{y}{(x-\xi)^2+y^2}\,d\xi =\arctan\!\Bigl(\tfrac{1-x}{y}\Bigr)+\arctan\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr),
\int_{0}^{1}\frac{y}{(x+\xi)^2+y^2}\,d\xi =\arctan\!\Bigl(\tfrac{x+1}{y}\Bigr)-\arctan\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr).
Substituindo em u(x,y) resulta
u(x,y) =\frac{10}{\pi}\Bigl[ \arctan\!\bigl(\tfrac{1-x}{y}\bigr) +\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) -\Bigl(\arctan\!\bigl(\tfrac{x+1}{y}\bigr)-\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\Bigr) \Bigr].

Passo 5

Agrupando termos finais obtemos
u(x,y) =\frac{10}{\pi}\Bigl[ \arctan\!\bigl(\tfrac{1-x}{y}\bigr) +2\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) -\arctan\!\bigl(\tfrac{x+1}{y}\bigr) \Bigr].
Esta fórmula satisfaz \Delta u=0, u(0,y)=0 e reproduz em y\to0 o valor 10 para 0<x<1 e derivada nula para x>1.

Resposta

\boxed{ u(x,y) =\frac{10}{\pi} \int_{0}^{1}y\, \Bigl[\frac{1}{(x-\xi)^2+y^2}-\frac{1}{(x+\xi)^2+y^2}\Bigr]\,d\xi }
ou, de forma explícita,
\boxed{ u(x,y) =\frac{10}{\pi}\Bigl[ \arctan\!\bigl(\tfrac{1-x}{y}\bigr) +2\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) -\arctan\!\bigl(\tfrac{x+1}{y}\bigr) \Bigr]. }

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