Aplique a transformada integral de Fourier para resolver o problema de valor de contorno no qual -\infty<x<\infty, dada por:
u_{x x}=u_{t}, \quad u(x, 0)=e^{-|x|}

Passo 1

O problema é a equação do calor
u_{xx}=u_{t},\quad -\infty<x<\infty,\;t>0
com condição inicial
u(x,0)=e^{-|x|}.
Vamos usar a transformada de Fourier em x para transformar a PDE numa equação ordinária em t, resolver esta ODE e depois inverter a transformada.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier de u(x,t) em x como
\widehat u(k,t) =\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\,e^{-ikx}\,dx.
Aplicando ao termo u_{xx} e a u_t, obtemos
\mathcal F\{u_{xx}\}=-k^2\,\widehat u(k,t), \qquad \mathcal F\{u_{t}\}=\partial_{t}\widehat u(k,t).
Logo a PDE vira a ODE
\partial_{t}\widehat u(k,t)+k^2\,\widehat u(k,t)=0.

Passo 3

Precisamos de \widehat u(k,0). Calculamos
\widehat u(k,0) =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|}e^{-ikx}\,dx =\int_{0}^{\infty}e^{-x}e^{-ikx}\,dx +\int_{-\infty}^{0}e^{\,x}e^{-ikx}\,dx.
Avalia-se cada integral:
\int_{0}^{\infty}e^{-(1+ik)x}\,dx=\frac{1}{1+ik}, \quad \int_{-\infty}^{0}e^{(1-ik)x}\,dx=\frac{1}{1-ik},
e somando dá
\widehat u(k,0) =\frac{1}{1+ik}+\frac{1}{1-ik} =\frac{2}{1+k^2}.

Passo 4

A ODE
\partial_{t}\widehat u(k,t)+k^2\,\widehat u(k,t)=0
é de coeficientes constantes. Integrando em t com \widehat u(k,0)=2/(1+k^2) resulta
\widehat u(k,t) =\frac{2}{1+k^2}\,e^{-k^2\,t}.

Passo 5

Agora invertendo a transformada de Fourier para obter u(x,t):
u(x,t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\widehat u(k,t)\,e^{ikx}\,dk =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2}{1+k^2}\,e^{-k^2t}\,e^{ikx}\,dk.
Essa integral também pode ser vista como convolução com o núcleo fundamental do calor, ficando
u(x,t) =\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}\,e^{-|y|}\,dy.

Resposta

u(x,t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2}{1+k^2}\,e^{-k^2t}\,e^{ikx}\,dk \;=\; \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}\,e^{-|y|}\,dy.

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