Aplique a transformada integral de Fourier para resolver o problema de valor de contorno no qual
, dada por:
Passo 1
O problema é a equação do calor
com condição inicial
Vamos usar a transformada de Fourier em
para transformar a PDE numa equação ordinária em
, resolver esta ODE e depois inverter a transformada.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier de
em
como
Aplicando ao termo
e a
, obtemos
Logo a PDE vira a ODE
Passo 3
Precisamos de
. Calculamos
Avalia-se cada integral:
e somando dá
Passo 4
A ODE
é de coeficientes constantes. Integrando em
com
resulta
Passo 5
Agora invertendo a transformada de Fourier para obter
:
Essa integral também pode ser vista como convolução com o núcleo fundamental do calor, ficando