Resolva o problema da equação do calor:
para
e as condições:
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor de contorno para a equação do calor
com condições de contorno
e condição inicial
Vamos usar o método de redução a um problema com condições de contorno homogêneas e depois aplicar separação de variáveis.
Passo 2
Procuramos uma solução estacionária
que satisfaça
Integrando duas vezes obtemos
Passo 3
Definimos
Então
e as condições passam a ser
Assim
satisfaz a equação do calor com contorno homogêneo.
Passo 4
Pela separação de variáveis, a solução para
é
onde os coeficientes
vêm da expansão em série de Fourier de
no sistema
:
Passo 5
Voltando à função original
, obtemos