Resolva o problema da equação do calor: u_{x x}=u_{t} para t>0 e 0<x<1 e as condições:
u(0, t)=u_{0}, \quad u(1, t)=u_{1}, \quad u(x, 0)=f(x)

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor de contorno para a equação do calor
u_{xx} = u_{t},\quad 0<x<1,\\ t>0
com condições de contorno
u(0,t)=u_{0},\quad u(1,t)=u_{1}
e condição inicial
u(x,0)=f(x).
Vamos usar o método de redução a um problema com condições de contorno homogêneas e depois aplicar separação de variáveis.

Passo 2

Procuramos uma solução estacionária H(x) que satisfaça
H''(x)=0,\quad H(0)=u_{0},\quad H(1)=u_{1}.
Integrando duas vezes obtemos
H(x)=u_{0} + (u_{1}-u_{0})\,x.

Passo 3

Definimos
v(x,t)=u(x,t)-H(x).
Então
v_{t}=u_{t}-0 = u_{xx} = v_{xx}+H''(x)=v_{xx},
e as condições passam a ser
v(0,t)=u(0,t)-H(0)=0,\quad v(1,t)=u(1,t)-H(1)=0,
v(x,0)=f(x)-H(x).
Assim v satisfaz a equação do calor com contorno homogêneo.

Passo 4

Pela separação de variáveis, a solução para v é
v(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,e^{-n^{2}\pi^{2}t}\,\sin(n\pi x),
onde os coeficientes B_{n} vêm da expansão em série de Fourier de v(x,0) no sistema \{\sin(n\pi x)\}:
B_{n}=2\int_{0}^{1}\bigl(f(s)-H(s)\bigr)\,\sin(n\pi s)\,ds.

Passo 5

Voltando à função original u, obtemos
u(x,t)=H(x)+v(x,t) = u_{0} + (u_{1}-u_{0})\,x + \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[2\int_{0}^{1}\bigl(f(s)-u_{0}-(u_{1}-u_{0})s\bigr)\sin(n\pi s)\,ds\Bigr]e^{-n^{2}\pi^{2}t}\sin(n\pi x).

Resposta

u(x,t)=u_{0} + (u_{1}-u_{0})\,x + \sum_{n=1}^{\infty}\biggl[2\int_{0}^{1}\bigl(f(s)-u_{0}-(u_{1}-u_{0})s\bigr)\sin(n\pi s)\,ds\biggr]e^{-n^{2}\pi^{2}t}\sin(n\pi x).

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