Determine a temperatura de etado estacionário para uma chapa retangular com as condições de contorno dadas. Use a equação de Laplace ux x+uy y=0.
u(0, y)=0, u(1, y)=1-y
uy(x, 0)=0 uy(x, 1)=0

Passo 1

O problema pede a temperatura de regime permanente numa placa retangular
com equação de Laplace uxx+uyy=0 em 0 sujeita a:
Dirichlet em x=0 e x=1: u(0,y)=0, u(1,y)=1-y,
Neumann em y=0 e y=1: uy(x,0)=0, uy(x,1)=0.
Vamos usar separação de variáveis e desenvolver uma série de Fourier.

Passo 2

Para eliminar a condição não-homogênea em x=0,1, achamos uma solução particular simples de Laplace que satisfaça só as Dirichlet em x. Seja
up(x,y)=x,igl(1-yr)
Note que up,xx+up,yy=0,
que up(0,y)=0 e up(1,y)=1-y.

Passo 3

Definimos v(x,y)=u(x,y)-up(x,y). Então v satisfaz
vxx+vyy=0, v(0,y)=v(1,y)=0, vy(x,0)=uy(x,0)-up,y(x,0)=0-(-x)=x, vy(x,1)=x
Ou seja, Dirichlet homogênea em x e Neumann não-homogênea em y.

Passo 4

Agora aplicamos separação de variáveis: procuramos
$$v(x,y)=
,\sum_{n=1}^\infty X_n(x),Y_n(y),$$
com as condições em v(x,y)= ,sumn=1^infty Xn(x),Yn(y),: x.
Daí Xn''+lambdan Xn=0, Xn(0)=Xn(1)=0 e lambdan=(npi)^2.

Passo 5

Para cada n, temos
Yn''-(npi)^2Yn=0 , Yn(y)=Cncosh(npi y)+Dnsinh(npi y)
As condições de Neumann dão
$$Y_n’(0)=D_n,n\pi=B_n,\quad Y_n’(1)=n\pi\bigl(C_n\sinh(n\pi)+D_n\cosh(n\pi)\bigr)=B_n,
Yn'(0)=Dn,npi=Bn, Yn'(1)=npil(Cnsinh(npi)+Dncosh(npi)r)=Bn, éx=\sum_{n=1}^\infty B_n\sin(n\pi x),
\quad B_n=2\int_0^1x\sin(n\pi x),dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}.
$$

Passo 6

Resolvendo para Cn, Dn obtemos
Dn=Bnnpi, Cn=Bnnpi,1-cosh(npi)sinh(npi) =-Bnnpitanhl(tfracnpi2r)
Logo a parte homogênea é
v(x,y)=sumn=1^inftysin(npi x)l[Cncosh(npi y)+Dnsinh(npi y)r]

Passo 7

Juntando com up, a solução geral é
u(x,y)=x(1-y) +sumn=1^infty2(-1)^n+1n^2pi^2l[sinh(npi y) -tanhl(tfracnpi2r)cosh(npi y)r]sin(npi x)
Esse é o desenvolvimento em série de Fourier que satisfaz todas as condições de contorno.

Passo 8

A expressão acima converge para a temperatura de regime permanente em toda a placa.

Resposta

u(x,y)=x,(1-y) +sumn=1^infty2(-1)^n+1n^2pi^2 l[sinh(npi y)-tanhl(tfracnpi2r)cosh(npi y)r]sin(npi x)

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