Determine a temperatura de etado estacionário para uma chapa retangular com as condições de contorno dadas. Use a equação de Laplace
.
Passo 1
O problema pede a temperatura de regime permanente numa placa retangular
com equação de Laplace em
sujeita a:
Dirichlet em e
:
,
Neumann em e
:
.
Vamos usar separação de variáveis e desenvolver uma série de Fourier.
com equação de Laplace
Dirichlet em
Neumann em
Vamos usar separação de variáveis e desenvolver uma série de Fourier.
Passo 2
Para eliminar a condição não-homogênea em
, achamos uma solução particular simples de Laplace que satisfaça só as Dirichlet em
. Seja
Note que
que
Passo 3
Definimos
. Então
satisfaz
Ou seja, Dirichlet homogênea em
e Neumann não-homogênea em
.
Passo 4
Agora aplicamos separação de variáveis: procuramos
$$v(x,y)=
,\sum_{n=1}^\infty X_n(x),Y_n(y),$$
com as condições em :
.
Daí e
.
com as condições em
Daí
Passo 5
Para cada
, temos
As condições de Neumann dão
$$Y_n’(0)=D_n,n\pi=B_n,\quad Y_n’(1)=n\pi\bigl(C_n\sinh(n\pi)+D_n\cosh(n\pi)\bigr)=B_n,
\quad B_n=2\int_0^1x\sin(n\pi x),dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}.
$$
Passo 6
Resolvendo para
obtemos
Logo a parte homogênea é
Passo 7
Juntando com
, a solução geral é
Esse é o desenvolvimento em série de Fourier que satisfaz todas as condições de contorno.
Passo 8
A expressão acima converge para a temperatura de regime permanente em toda a placa.