Resolva a equação da onda ut t=a^2 ux x sujeita às condições de contorno e iniciais dadas.
lut=a^2 ux x, 00 ; u(0, t)=0, u(L, t)=0, t>0 ; u(x, 0)=0, ut(x, 0)=x(L-x), 0 <= x <= L,

Passo 1

Resumo do enunciado: resolver a equação da onda utt=a^2uxx em 0 com condições de contorno homogêneas u(0,t)=0, u(L,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=0, ut(x,0)=x(L-x). Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de senos.

Passo 2

Propomos uma solução do tipo u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo na PDE e dividindo por a^2X(x)T(t), obtemos
T''(t)a^2T(t)=X''(x)X(x)=-lambda

Passo 3

As condições de contorno X(0)=0, X(L)=0 levam aos autovalores lambdan=(npi/L)^2 e autovetores
Xn(x)=sinl(npi xLr), n=1,2,dots

Passo 4

A equação temporal associada é
Tn''(t)+a^2l(npiLr)^2Tn(t)=0,
cuja solução geral é
Tn(t)=Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t),omegan=a npiL

Passo 5

Portanto a solução geral é
u(x,t)=sumn=1^inftyl[Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r]sinl(npi xLr)

Passo 6

Aplicando as condições iniciais: de u(x,0)=0 vem An=0; de ut(x,0)=f(x)=x(L-x) vem
f(x)=sumn=1^infty Bnomegansinl(npi xLr), Bn=2L,omeganintegral0^L x(L-x)sinl(npi xLr)dx

Passo 7

Agora calculamos
In=integral0^L x(L-x)sinl(npi xLr)dx

Passo 8

Por integração por partes obtém-se
$$I_n=\begin{cases}\displaystyle\frac{4L3}{n3\pi^3},&nímpar,\0,&npar.
\end{cases}$$

Passo 9

Logo
$$B_n=\frac{2}{L,\omega_n}I_n=\begin{cases}\displaystyle\frac{8L3}{a,n4\pi^4},&nímpar,\0,&npar.
\end{cases}$$

Passo 10

Finalmente a solução da equação de onda fica
u(x,t)=summ=0^infty8L^3a(2m+1)^4pi^4sinl((2m+1)pi xLr)sinl((2m+1)pi a tLr)

Resposta

u(x,t)=summ=0^infty8L^3a(2m+1)^4pi^4sinl((2m+1)pi xLr)sinl((2m+1)pi a tLr)

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