Resolva a equação da onda sujeita às condições de contorno e iniciais dadas.
Passo 1
Resumo do enunciado: resolver a equação da onda utt=a^2uxx em 0 com condições de contorno homogêneas u(0,t)=0, u(L,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=0, ut(x,0)=x(L-x). Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de senos.
Passo 2
Propomos uma solução do tipo u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo na PDE e dividindo por a^2X(x)T(t), obtemos
T''(t)a^2T(t)=X''(x)X(x)=-lambda
Passo 3
As condições de contorno X(0)=0, X(L)=0 levam aos autovalores lambdan=(npi/L)^2 e autovetores
Xn(x)=sinl(npi xLr), n=1,2,dots
Passo 4
A equação temporal associada é
Tn''(t)+a^2l(npiLr)^2Tn(t)=0,
cuja solução geral é Tn(t)=Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t),omegan=a npiL