Determine a temperatura de etado estacionário para uma chapa retangular com as condições de contorno dadas. Use a equação de Laplace
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a temperatura em estado estacionário de uma chapa retangular usando a equação de Laplace, que é
. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais parciais, especificamente no estudo de condução de calor. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições de contorno:
- Nas bordas laterais (
e ), a temperatura é zero: e . - Na parte inferior (
), a temperatura também é zero: . - Na parte superior (
), a temperatura varia com : .
Passo 3
Como as condições de contorno nas laterais e na parte inferior são todas iguais a zero, isso sugere que podemos usar a separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Passo 4
Substituindo
na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso significa que cada termo é constante, então podemos igualar a um valor
:
Passo 5
Resolvemos a equação para
:
Com as condições de contorno
, a solução não trivial ocorre quando
, onde
é um número inteiro positivo. Assim, a solução para
é:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação para
:
A solução geral dessa equação diferencial é:
Passo 7
Aplicamos a condição na parte inferior da chapa,
:
Isso implica que
, já que
. Portanto, a solução para
simplifica para:
Passo 8
A solução geral para a temperatura é uma soma dos modos:
Passo 9
Aplicamos a condição na parte superior,
:
Para encontrar os coeficientes
, expandimos
em uma série de Fourier senoidal:
Comparando com a expressão anterior:
Então:
Passo 10
Finalmente, substituímos
de volta na solução geral:
Onde os coeficientes
são dados pela série de Fourier de
:
Resposta
A temperatura de estado estacionário na chapa retangular é dada por: