Determine a temperatura de etado estacionário para uma chapa retangular com as condições de contorno dadas. Use a equação de Laplace ux x+uy y=0.
u(0, y)=0, u(a, y)=0
u(x, 0)=0, u(x, b)=f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a temperatura em estado estacionário de uma chapa retangular usando a equação de Laplace, que é uxx + uyy = 0. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais parciais, especificamente no estudo de condução de calor. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições de contorno:
  • Nas bordas laterais ( x=0 e x=a), a temperatura é zero: u(0, y) = 0 e u(a, y) = 0.
  • Na parte inferior ( y=0), a temperatura também é zero: u(x, 0) = 0.
  • Na parte superior ( y=b), a temperatura varia com x: u(x, b) = f(x).

Passo 3

Como as condições de contorno nas laterais e na parte inferior são todas iguais a zero, isso sugere que podemos usar a separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de x e outra que depende apenas de y:
u(x, y) = X(x)Y(y)

Passo 4

Substituindo u(x, y) = X(x)Y(y) na equação de Laplace:
X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0
Dividindo ambos os lados por X(x)Y(y):
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
Isso significa que cada termo é constante, então podemos igualar a um valor -lambda:
X''(x)X(x) = -lambda e Y''(y)Y(y) = lambda

Passo 5

Resolvemos a equação para X(x):
X''(x) + lambda X(x) = 0
Com as condições de contorno X(0) = X(a) = 0, a solução não trivial ocorre quando lambda = (npia)^2, onde n é um número inteiro positivo. Assim, a solução para X(x) é:
Xn(x) = sin(npi xa)

Passo 6

Agora, resolvemos a equação para Y(y):
Y''(y) - (npia)^2 Y(y) = 0
A solução geral dessa equação diferencial é:
Yn(y) = An sinh(npi ya) + Bn cosh(npi ya)

Passo 7

Aplicamos a condição na parte inferior da chapa, u(x, 0) = 0:
u(x, 0) = X(x)Y(0) = 0
Isso implica que Bn = 0, já que cosh(0) = 1. Portanto, a solução para Yn(y) simplifica para:
Yn(y) = An sinh(npi ya)

Passo 8

A solução geral para a temperatura é uma soma dos modos:
u(x, y) = sumn=1^infty An sin(npi xa) sinh(npi ya)

Passo 9

Aplicamos a condição na parte superior, u(x, b) = f(x):
f(x) = sumn=1^infty An sin(npi xa) sinh(npi ba)
Para encontrar os coeficientes An, expandimos f(x) em uma série de Fourier senoidal:
f(x) = sumn=1^infty Cn sin(npi xa)
Comparando com a expressão anterior:
Cn = An sinh(npi ba)
Então:
An = Cnsinh(npi ba)

Passo 10

Finalmente, substituímos An de volta na solução geral:
u(x, y) = sumn=1^infty Cnsinh(npi ba) sin(npi xa) sinh(npi ya)
Onde os coeficientes Cn são dados pela série de Fourier de f(x):
Cn = 2a integral0^a f(x) sin(npi xa) dx

Resposta

A temperatura de estado estacionário na chapa retangular é dada por:
u(x, y) = sumn=1^infty ( 2a sinh(npi ba) integral0^a f(xi) sin(npi xia) dxi ) sin(npi xa) sinh(npi ya)

Exercícios relacionados