Encontre a solucão do problema com condições iniciais e de contorno da condução de calor:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de condução de calor juntos! A gente tem uma equação que descreve como o calor se espalha num material ao longo do tempo. O problema envolve:
- Equação de calor: $ u_t = u_{xx} $
- Condições de contorno: Derivada de $ u $ em $ x = 0 $ e $ x = L $ é zero, ou seja, $ u_x(0, t) = 0 $ e $ u_x(L, t) = 0 $
- Condição inicial: A distribuição de calor no início é $ u(x, 0) = x $
Vamos usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a separação de variáveis. A ideia é assumir que a solução $ u(x, t) $ pode ser escrita como o produto de duas funções, uma dependendo só de $ x $ e outra só de $ t $:
Substituindo essa forma na equação de calor:
Dividindo ambos os lados por $ X(x) \cdot T(t) $:
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.
Passo 3
Agora, temos duas equações separadas:
- Para $ T(t) $:
A solução dessa equação é:
- Para $ X(x) $:
Essa é uma equação diferencial ordinária que resolvemos com as condições de contorno.
Passo 4
As condições de contorno são $ u_x(0, t) = 0 $ e $ u_x(L, t) = 0 $. Substituindo $ u(x, t) = X(x) T(t) $, temos:
Isso significa que a derivada de $ X $ nas extremidades é zero, indicando que não há fluxo de calor através das bordas (condições de isolamento).
Passo 5
Resolvendo a equação para $ X(x) $:
Dependendo do valor de $ \lambda $, a solução varia:
- Para $ \lambda > 0 $, temos soluções oscilatórias.
- Para $ \lambda = 0 $, soluções lineares.
- Para $ \lambda < 0 $, soluções exponenciais.
Como queremos soluções não-triviais e que satisfaçam as condições de contorno, escolhemos $ \lambda = \left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 $, onde $ n $ é um número inteiro.
Então, as soluções para $ X(x) $ são:
Passo 6
Com isso, a solução geral da equação de calor é uma soma infinita dessas soluções separadas:
Onde $ A_n $ são os coeficientes que determinaremos usando a condição inicial.
Passo 7
Aplicando a condição inicial $ u(x, 0) = x $, temos:
Para encontrar os coeficientes $ A_n $, usamos os coeficientes de Fourier, que são calculados por:
Passo 8
Calculando os coeficientes $ A_n $:
Para $ n = 0 $:
Para $ n \geq 1 $:
Após calcular, obtemos:
Passo 9
Substituindo os coeficientes de volta na solução geral:
Resposta
A solução do problema de condução de calor dado é: