Encontre a solucão do problema com condições iniciais e de contorno da condução de calor:
lut=ux x, 00 ; ux(0, t)=0, ux(L, t)=0, t>0 ; u(x, 0)=x, 0 <= x <= L,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de condução de calor juntos! A gente tem uma equação que descreve como o calor se espalha num material ao longo do tempo. O problema envolve:
  • Equação de calor: $ u_t = u_{xx} $
  • Condições de contorno: Derivada de $ u $ em $ x = 0 $ e $ x = L $ é zero, ou seja, $ u_x(0, t) = 0 $ e $ u_x(L, t) = 0 $
  • Condição inicial: A distribuição de calor no início é $ u(x, 0) = x $
Vamos usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a separação de variáveis. A ideia é assumir que a solução $ u(x, t) $ pode ser escrita como o produto de duas funções, uma dependendo só de $ x $ e outra só de $ t $:
u(x, t)
Substituindo essa forma na equação de calor:
x
Dividindo ambos os lados por $ X(x) \cdot T(t) $:
t
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.

Passo 3

Agora, temos duas equações separadas:
  1. Para $ T(t) $:
T(t)
A solução dessa equação é:
T'(t) + lambda T(t) = 0
  1. Para $ X(x) $:
T(t) = C e^-lambda t
Essa é uma equação diferencial ordinária que resolvemos com as condições de contorno.

Passo 4

As condições de contorno são $ u_x(0, t) = 0 $ e $ u_x(L, t) = 0 $. Substituindo $ u(x, t) = X(x) T(t) $, temos:
ux(0, t) = 0
Isso significa que a derivada de $ X $ nas extremidades é zero, indicando que não há fluxo de calor através das bordas (condições de isolamento).

Passo 5

Resolvendo a equação para $ X(x) $:
X(x)
Dependendo do valor de $ \lambda $, a solução varia:
  • Para $ \lambda > 0 $, temos soluções oscilatórias.
  • Para $ \lambda = 0 $, soluções lineares.
  • Para $ \lambda < 0 $, soluções exponenciais.
Como queremos soluções não-triviais e que satisfaçam as condições de contorno, escolhemos $ \lambda = \left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 $, onde $ n $ é um número inteiro.
Então, as soluções para $ X(x) $ são:
X''(x) + lambda X(x) = 0

Passo 6

Com isso, a solução geral da equação de calor é uma soma infinita dessas soluções separadas:
u(x, t) = sumn=0^infty An cos( npi xL ) e^-( npiL )^2 t
Onde $ A_n $ são os coeficientes que determinaremos usando a condição inicial.

Passo 7

Aplicando a condição inicial $ u(x, 0) = x $, temos:
u(x, 0) = x
Para encontrar os coeficientes $ A_n $, usamos os coeficientes de Fourier, que são calculados por:
x = sumn=0^infty An cos( npi xL )

Passo 8

Calculando os coeficientes $ A_n $:
Para $ n = 0 $:
An
Para $ n \geq 1 $:
n = 0
Após calcular, obtemos:
A0 = 2L integral0^L x cdot 1 , dx = 2L [ x^22 ]0^L = 2L cdot L^22 = L

Passo 9

Substituindo os coeficientes de volta na solução geral:
u(x, t) = L2 + sumn=1^infty 2Ln^2 pi^2 [(-1)^n - 1] cos( npi xL ) e^-( npiL )^2 t

Resposta

A solução do problema de condução de calor dado é:
u(x, t) = L2 + sumn=1^infty 2Ln^2 pi^2 [ (-1)^n - 1 ] cos( npi xL ) e^-( npiL )^2 t

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