Resolva as equações diferenciais dadas através de uma série de potências em torno do ponto
. Encontre a relação de recorrência e os quatro primeiros em cada uma das duas soluções linearmente independentes. Quando possível determine o termo geral de cada solução.
(e)
, em torno de
. Res:
e
e
.
(e)
Passo 1
Temos a equação diferencial
e queremos uma solução em série de potências em torno de
. Vamos usar o método de séries de potências (Frobenius sem parte singular) para obter a relação de recorrência e depois os quatro primeiros termos de cada solução independente.
Passo 2
Fazemos a troca de variável
, de modo que
. Assumimos uma solução da forma
Calculamos as derivadas:
Passo 3
Substituímos na equação original
, lembrando que
:
-
-
-
Juntando tudo e realinhando para potênciasleva à soma de séries única.
Passo 4
Coletando os coeficientes de
para
resulta na condição
ou seja
válida para
. Para
obtemos
, ou seja
.
Passo 5
Para construir a primeira solução
, escolhemos as condições iniciais
e
. Daí
para
:
para
:
Logo
Passo 6
Para a segunda solução
, tomamos
e
. Então
para
:
para
:
Logo
Resposta
Relação de recorrência:
, com
.
Soluções independentes: