Resolva as equações diferenciais dadas através de uma série de potências em torno do ponto x0. Encontre a relação de recorrência e os quatro primeiros em cada uma das duas soluções linearmente independentes. Quando possível determine o termo geral de cada solução.
(e) x y^prime prime+y^prime+x y=0, em torno de x0=1. Res: (n+2)(n+1) an+2=-[(n+1)^2 an+1+an+an-1] p / n=1,2,3, ldots e 2 a2=-(a0+a1) ; y1(x)=1-12(x-1)^2+16(x-1)^3-112(x-1)^4+ldots e y2(x)=(x-1)-12(x-1)^2+16(x-1)^3-16(x-1)^4+ldots.

Passo 1

Temos a equação diferencial x y'' + y' + x y = 0 e queremos uma solução em série de potências em torno de x0=1. Vamos usar o método de séries de potências (Frobenius sem parte singular) para obter a relação de recorrência e depois os quatro primeiros termos de cada solução independente.

Passo 2

Fazemos a troca de variável t = x - 1, de modo que x = t + 1. Assumimos uma solução da forma
y(t)=sumn=0^infty an t^n
Calculamos as derivadas:
y'(t)=sumn=1^infty n an t^n-1, y''(t)=sumn=2^infty n(n-1)an t^n-2

Passo 3

Substituímos na equação original x y'' + y' + x y = 0, lembrando que x=t+1:
  1. (t+1)y'' = sumn=2^infty n(n-1)an t^n-2 + sumn=2^infty n(n-1)an t^n-1,
  2. y' = sumn=1^infty n an t^n-1,
  3. (t+1)y = sumn=0^infty an t^n+1 + sumn=0^infty an t^n
    Juntando tudo e realinhando para potências t^k leva à soma de séries única.

Passo 4

Coletando os coeficientes de t^k para k>=0 resulta na condição
(k+2)(k+1)ak+2 + (k+1)^2 ak+1 + ak + ak-1 = 0,
ou seja
(k+2)(k+1)ak+2 = -l[(k+1)^2ak+1 + ak + ak-1r],
válida para k=1,2,3,dots. Para k=0 obtemos 2a2 + a1 + a0 = 0, ou seja a2 = -tfraca0 + a12.

Passo 5

Para construir a primeira solução y1, escolhemos as condições iniciais a0=1 e a1=0. Daí
a2 = -tfrac1+02 = -tfrac12,
para k=1:
6a3 = -l(2^2a2 + a1 + a0r) = -(-2+0+1)=1 Rightarrow a3=tfrac16,
para k=2:
12a4 = -l(3^2a3 + a2 + a1r) = -(tfrac32 -tfrac12+0)=-1 Rightarrow a4=-tfrac112
Logo
y1(x)=1 -tfrac12(x-1)^2 + tfrac16(x-1)^3 - tfrac112(x-1)^4 + cdots

Passo 6

Para a segunda solução y2, tomamos a0=0 e a1=1. Então
a2 = -tfrac0+12=-tfrac12,
para k=1:
6a3 = -(-2+1+0)=1 Rightarrow a3=tfrac16,
para k=2:
12a4 = -(tfrac32 -tfrac12+1) = -2 Rightarrow a4 = -tfrac16
Logo
y2(x)=(x-1) -tfrac12(x-1)^2 + tfrac16(x-1)^3 - tfrac16(x-1)^4 + cdots

Resposta

Relação de recorrência: (n+2)(n+1)an+2 = -l[(n+1)^2 an+1 + an + an-1r], n=1,2,3,dots, com 2a2=-(a0+a1).
Soluções independentes:
y1(x)=1 -tfrac12(x-1)^2 + tfrac16(x-1)^3 - tfrac112(x-1)^4 + cdots,
y2(x)=(x-1) -tfrac12(x-1)^2 + tfrac16(x-1)^3 - tfrac16(x-1)^4 + cdots

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