Use a definição para calcular
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a transformada de Laplace da integral de uma função $ f(t) $. A função $ f(t) $ é definida assim:
Então, estamos lidando com Transformadas de Laplace e integrais de funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Laplace e propriedades das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular $ \mathcal{L}\left{\int f(t) , dt\right} $. A transformada de Laplace de uma integral de $ f(t) $ pode ser relacionada à transformada de Laplace de $ f(t) $ usando uma propriedade importante:
Onde $ F(s) = \mathcal{L}{f(t)} $. Ou seja, se conhecermos a transformada de $ f(t) $, podemos facilmente achar a transformada da sua integral dividindo por $ s $.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ F(s) = \mathcal{L}{f(t)} $. A definição da transformada de Laplace é:
No nosso caso, $ f(t) $ é $ \sin(1) $ de 0 a $ \pi $, e 0 depois disso. Então, o intervalo da integral será de 0 a $ \pi $:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. Primeiro, fatoramos $ \sin(1) $ que é uma constante:
A integral de $ e^{-st} $ em relação a $ t $ é:
Aplicando os limites de 0 a $ \pi $:
Então:
Passo 5
Agora, vamos usar a propriedade que mencionamos no Passo 2 para encontrar a transformada da integral de $ f(t) $:
Resposta
A transformada de Laplace da integral de $ f(t) $ é: