Determine a temperatura de regime permanente u(r, \theta) em uma placa circular de raio r=1 considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado. u(1, \theta)=\left\{\begin{array}{cc}u_{0}, & 0<\theta<\pi \\\\ 0, & \pi<\theta<2 \pi\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a temperatura de regime permanente u(r,\theta)\) numa placa circular de raio \(r=1\) sabendo que na circunferência a temperatura é
\[u(1,\theta)=\begin{cases} u_{0}, & 0<\theta<\pi,\\[4pt] 0, & \pi<\theta<2\pi. \end{cases}
Informações dadas relevantes: \,u(r,\theta)\] é a temperatura em coordenadas polares \((r,\theta) definida para 0\le r\le1 e 0\le\theta<2\pi.
A condição na fronteira (circunferência r=1) é uma função por partes (valores u_{0} e 0).
Queremos a solução de regime permanente, ou seja, a solução harmônica (satisfaz Laplace) no disco que assume esses valores na borda.]
Passo 2
Por que buscamos uma solução harmônica: em regime permanente, a temperatura satisfaz a equação de Laplace. Em coordenadas polares, a forma geral das soluções regulares no interior do disco (funções harmônicas limitadas em r=0) pode ser escrita como série de Fourier em \theta com potências inteiras de r. A forma geral (que vou usar) é
Aqui a_{0},a_{n},b_{n} são constantes que serão determinadas pela condição de contorno u(1,\theta)=f(\theta). Explico por quê:
A separação de variáveis em Laplace em coordenadas polares dá termos \sim r^n\cos n\theta, \sim r^n\sin n\theta e \sim r^{-n} (estes últimos são singularidades no centro e portanto descartados se queremos solução regular em r=0).
O termo constante aparece como a_{0}/2 por convenção da série de Fourier.
Logo os coeficientes a_{n},b_{n} são simplesmente os coeficientes de Fourier da função f(\theta) no intervalo [0,2\pi]. As fórmulas usuais (para séries em [0,2\pi]) são:
Substituímos os coeficientes na série geral. Como todos a_{n}=0, ficam apenas termos em seno com potências r^{n}. Apenas os n ímpares contribuem. Escrevendo n=2k+1 com k=0,1,2,\dots obtemos:
A série encontrada é a solução harmônica regular no disco que, ao levar r\to1 (limite radial), converge (ponto a ponto, salvo nas descontinuidades) à função de contorno f(\theta). Nas descontinuidades (\theta=0,\pi) a série converge ao valor médio \tfrac{u_{0}+0}{2}=\tfrac{u_{0}}{2} (isso é uma propriedade geral das séries de Fourier: convergem para a média lateral nas quebras).
Em problemas de prova, é suficiente apresentar a forma geral da solução harmônica no disco e calcular os coeficientes de Fourier como fizemos; os passos principais são: (i) escrever a representação por série em potências de r, (ii) determinar coeficientes pela condição em r=1, (iii) observar regularidade em r=0 para descartar termos r^{-n}.
Se for pedido, pode-se manipular a série em funções elementares (existem formas fechadas usando funções arctangente/log), mas a série é a forma padrão e perfeitamente aceitável.