Determine a temperatura de regime permanente u(r, \theta) em uma placa circular de raio r=1 considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
u(1, \theta)=\left\{\begin{array}{cc}u_{0}, & 0<\theta<\pi \\\\ 0, & \pi<\theta<2 \pi\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a temperatura de regime permanente u(r,\theta)\) numa placa circular de raio \(r=1\) sabendo que na circunferência a temperatura é \[u(1,\theta)=\begin{cases} u_{0}, & 0<\theta<\pi,\\[4pt] 0, & \pi<\theta<2\pi. \end{cases}
Informações dadas relevantes:
\,u(r,\theta)\] é a temperatura em coordenadas polares \((r,\theta) definida para 0\le r\le1 e 0\le\theta<2\pi.
A condição na fronteira (circunferência r=1) é uma função por partes (valores u_{0} e 0).
Queremos a solução de regime permanente, ou seja, a solução harmônica (satisfaz Laplace) no disco que assume esses valores na borda.]

Passo 2

Por que buscamos uma solução harmônica: em regime permanente, a temperatura satisfaz a equação de Laplace. Em coordenadas polares, a forma geral das soluções regulares no interior do disco (funções harmônicas limitadas em r=0) pode ser escrita como série de Fourier em \theta com potências inteiras de r. A forma geral (que vou usar) é
u(r,\theta)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}\bigl(a_{n}\cos n\theta + b_{n}\sin n\theta\bigr).
Aqui a_{0},a_{n},b_{n} são constantes que serão determinadas pela condição de contorno u(1,\theta)=f(\theta). Explico por quê:
  • A separação de variáveis em Laplace em coordenadas polares dá termos \sim r^n\cos n\theta, \sim r^n\sin n\theta e \sim r^{-n} (estes últimos são singularidades no centro e portanto descartados se queremos solução regular em r=0).
  • O termo constante aparece como a_{0}/2 por convenção da série de Fourier.

Passo 3

A condição de contorno dita que, para r=1,
f(\theta):=u(1,\theta)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos n\theta + b_{n}\sin n\theta\bigr).
Logo os coeficientes a_{n},b_{n} são simplesmente os coeficientes de Fourier da função f(\theta) no intervalo [0,2\pi]. As fórmulas usuais (para séries em [0,2\pi]) são:
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\,d\theta, \qquad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\cos n\theta\,d\theta, \qquad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\sin n\theta\,d\theta,
para n\ge1. Vou calcular cada um usando a forma de f(\theta).

Passo 4

Calcule a_{0}. Usamos que f(\theta)=u_{0} em 0<\theta<\pi e f(\theta)=0 em \pi<\theta<2\pi. Então
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\,d\theta =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} u_{0}\,d\theta =\frac{1}{\pi}\bigl(u_{0}\pi\bigr)=u_{0}.
Portanto o termo médio é \dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{u_{0}}{2}.

Passo 5

Calcule a_{n} para n\ge1:
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\cos n\theta\,d\theta =\frac{u_{0}}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos n\theta\,d\theta.
Agora integramos \cos n\theta:
\int_{0}^{\pi}\cos n\theta\,d\theta=\left.\frac{\sin n\theta}{n}\right|_{0}^{\pi}=\frac{\sin n\pi-\sin 0}{n}=0.
Logo \,a_{n}=0 para todo n\ge1.

Passo 6

Calcule b_{n} para n\ge1:
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\sin n\theta\,d\theta =\frac{u_{0}}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin n\theta\,d\theta.
Integramos \sin n\theta:
\int_{0}^{\pi}\sin n\theta\,d\theta=\left.-\frac{\cos n\theta}{n}\right|_{0}^{\pi} =-\frac{\cos n\pi-\cos 0}{n}=\frac{1-(-1)^{n}}{n}.
Portanto
b_{n}=\frac{u_{0}}{\pi}\cdot\frac{1-(-1)^{n}}{n}.
Note que 1-(-1)^{n}=0 se n é par e =2 se n é ímpar. Assim
b_{n}=\begin{cases} 0, & n\\ \text{par},\\[4pt] \dfrac{2u_{0}}{\pi n}, & n\\ \text{ímpar}. \end{cases}í]

Passo 7

Substituímos os coeficientes na série geral. Como todos a_{n}=0, ficam apenas termos em seno com potências r^{n}. Apenas os n ímpares contribuem. Escrevendo n=2k+1 com k=0,1,2,\dots obtemos:
u(r,\theta)=\frac{u_{0}}{2}+\sum_{k=0}^{\infty} r^{2k+1}\,b_{2k+1}\sin\bigl((2k+1)\theta\bigr).
Substituindo b_{2k+1}=\dfrac{2u_{0}}{\pi(2k+1)}
u(r,\theta)=\frac{u_{0}}{2}+\frac{2u_{0}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{r^{2k+1}}{2k+1}\,\sin\bigl((2k+1)\theta\bigr).

Passo 8

Interpretação e observações úteis para a prova:
  • A série encontrada é a solução harmônica regular no disco que, ao levar r\to1 (limite radial), converge (ponto a ponto, salvo nas descontinuidades) à função de contorno f(\theta). Nas descontinuidades ( \theta=0,\pi) a série converge ao valor médio \tfrac{u_{0}+0}{2}=\tfrac{u_{0}}{2} (isso é uma propriedade geral das séries de Fourier: convergem para a média lateral nas quebras).
  • Em problemas de prova, é suficiente apresentar a forma geral da solução harmônica no disco e calcular os coeficientes de Fourier como fizemos; os passos principais são: (i) escrever a representação por série em potências de r, (ii) determinar coeficientes pela condição em r=1, (iii) observar regularidade em r=0 para descartar termos r^{-n}.
  • Se for pedido, pode-se manipular a série em funções elementares (existem formas fechadas usando funções arctangente/log), mas a série é a forma padrão e perfeitamente aceitável.

Resposta

u(r,\theta)=\frac{u_{0}}{2}+\frac{2u_{0}}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{r^{2k+1}}{2k+1}\,\sin\bigl((2k+1)\theta\bigr).

Exercícios relacionados