Determine a temperatura de regime permanente u(r, \theta) em uma placa semicircular de raio r=1 se
\begin{array}{ll} u(1, \theta)=u_{0}, & 0<\theta<\pi \\\ u(r, 0)=0, & u(r, \pi)=u_{0}, \end{array} \quad 0<r<1,

Passo 1

O enunciado pede a temperatura de regime permanente u(r,\theta) numa placa semicircular de raio 1 (domínio 0<r<1,\;0<\theta<\pi), sujeita às condições de contorno:
\begin{array}{ll} u(1,\theta)=u_{0}, & 0<\theta<\pi,\\[4pt] u(r,0)=0, & 0<r<1,\\[4pt] u(r,\pi)=u_{0}, & 0<r<1. \end{array}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Domínio: } 0<r<1,\;0<\theta<\pi.\\\ &\text{Contorno no arco } r=1:\; u(1,\theta)=u_0\\ \\ (0<\theta<\pi).\\\ &\text{Contorno nas bordas radiais: } u(r,0)=0,\quad u(r,\pi)=u_0\\ \\ (0<r<1). \end{aligned}í]

Passo 2

A situação de regime permanente significa que a temperatura satisfaz a equação de Laplace em coordenadas polares (equilíbrio termal sem fontes):
\frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}=0.
Reescrevo claramente as condições de contorno para esta PDE:
u(1,\theta)=u_0,\quad u(r,0)=0,\quad u(r,\pi)=u_0.
Vou buscar uma solução que satisfaça a PDE dentro do disco semicircular e esses contornos.

Passo 3

É conveniente transformar as condições angulares em condições homogêneas (zero) para usar séries de senos/cossenos. Defino a função auxiliar
v(r,\theta)=u(r,\theta)-\frac{u_0\,\theta}{\pi}.
Observações importantes sobre essa definição:
  • A função \frac{u_0\theta}{\pi} é linear em \theta e independente de r. Sua segunda derivada em \theta é zero, então ela é harmônica em \theta (quando inserida na equação de Laplace, a parte angular dá zero).
  • Portanto v também satisfaz a equação de Laplace:
\frac{\partial^{2} v}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2} v}{\partial \theta^{2}}=0.
As condições de contorno para v são:
\begin{aligned} v(r,0)&=u(r,0)-\frac{u_0\cdot 0}{\pi}=0,\\[4pt] v(r,\pi)&=u(r,\pi)-\frac{u_0\pi}{\pi}=u_0-u_0=0,\\[4pt] v(1,\theta)&=u(1,\theta)-\frac{u_0\theta}{\pi}=u_0-\frac{u_0\theta}{\pi}=u_0\Big(1-\frac{\theta}{\pi}\Big). \end{aligned}
Ou seja, v tem contorno angular homogêneo ( 0 em \theta=0,\pi) e no arco r=1 tem valor conhecido v(1,\theta)=u_0(1-\theta/\pi).]

Passo 4

Vou resolver a equação de Laplace para v por separação de variáveis: suponho
v(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta).
Substituindo na equação e dividindo por R\Theta obtemos a separação
\frac{r^{2}R''+rR'}{R}+\frac{\Theta''}{\Theta}=0,
logo cada termo é uma constante -\lambda. Assim obtemos os ODEs:
\Theta''+\lambda\Theta=0,
r^{2}R''+rR'-\lambda R=0.
Impondo as condições angulares homogêneas \Theta(0)=0 e \Theta(\pi)=0, reconhecemos os autovalores e autovetores:
  • Para \lambda=n^{2} com n=1,2,\dots as soluções são \Theta_{n}(\theta)=\sin(n\theta), que satisfazem \Theta_n(0)=\Theta_n(\pi)=0.
  • O caso n=0 \Theta''=0 e \Theta linear, mas isso não satisfaz as duas condições homogêneas exceto trivialmente, então descartamos n=0.

Passo 5

Para \lambda=n^{2} a equação radial é
r^{2}R''+rR'-n^{2}R=0,
cuja solução geral é
R(r)=A r^{n}+B r^{-n}.
Como a solução física u (e portanto v) deve ser finita em r=0 dentro do disco, devemos ter B=0 (o termo r^{-n} diverge em r\to 0 para n\ge1). Assim as componentes radiais são R_{n}(r)=r^{n}.

Passo 6

Combinando as modos, a solução geral regular para v é a série de Fourier-seno radial:
v(r,\theta)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\, r^{n}\sin(n\theta),
onde os coeficientes a_{n} são determinados pela condição v(1,\theta)=u_0(1-\theta/\pi).

Passo 7

No contorno r=1 devemos ter
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\sin(n\theta)=u_0\Big(1-\frac{\theta}{\pi}\Big),\qquad 0<\theta<\pi.
Usamos a ortogonalidade dos senos no intervalo (0,\pi). A fórmula para os coeficientes da série de seno é
a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} \Big(u_0\Big(1-\frac{\theta}{\pi}\Big)\Big)\sin(n\theta)\,d\theta.
Posso tirar u_0 fora da integral:
a_{n}=\frac{2u_0}{\pi}\int_{0}^{\pi}\Big(1-\frac{\theta}{\pi}\Big)\sin(n\theta)\,d\theta.

Passo 8

Calculo a integral
I_{n}=\int_{0}^{\pi}\Big(1-\frac{\theta}{\pi}\Big)\sin(n\theta)\,d\theta =\int_{0}^{\pi}\sin(n\theta)\,d\theta-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\theta\sin(n\theta)\,d\theta.
Primeiro termo:
\int_{0}^{\pi}\sin(n\theta)\,d\theta=\Big[-\frac{\cos(n\theta)}{n}\Big]_{0}^{\pi}=\frac{1-(-1)^{n}}{n}.
Segundo termo (integração por partes): seja J=\int_{0}^{\pi}\theta\sin(n\theta)\,d\theta. Tomando u=\theta,\\ dv=\sin(n\theta)d\theta obtemos du=d\theta,\\ v=-\frac{\cos(n\theta)}{n}. Logo
J=\Big[-\frac{\theta\cos(n\theta)}{n}\Big]_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(n\theta)\,d\theta =-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}+\frac{1}{n}\Big[\frac{\sin(n\theta)}{n}\Big]_{0}^{\pi}.
Como \sin(n\pi)=0, o último termo some, ficando
J=-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}.
Portanto
I_{n}=\frac{1-(-1)^{n}}{n}-\frac{1}{\pi}\Big(-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}\Big)=\frac{1-(-1)^{n}}{n}+\frac{(-1)^{n}}{n}=\frac{1}{n}.
Surpresa agradável: I_{n}=1/n para todo n\ge1.

Passo 9

Com I_{n}=1/n obtemos os coeficientes
a_{n}=\frac{2u_0}{\pi}\cdot\frac{1}{n}=\frac{2u_0}{\pi n}.
Assim
v(r,\theta)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2u_0}{\pi n}\,r^{n}\sin(n\theta).
Voltando para u pela definição u(r,\theta)=\dfrac{u_0\theta}{\pi}+v(r,\theta), obtemos a solução final:
u(r,\theta)=\frac{u_0\theta}{\pi}+\frac{2u_0}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{r^{n}}{n}\sin(n\theta).
Essa série converge uniformemente para 0\le r<1 e satisfaz todas as condições de contorno e a equação de Laplace.

Resposta

u(r,\theta)=\frac{u_{0}\theta}{\pi}+\frac{2u_{0}}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{r^{n}}{n}\sin(n\theta).

Exercícios relacionados