Determine a temperatura de regime permanente
em uma placa semicircular de raio
se
Passo 1
O enunciado pede a temperatura de regime permanente
numa placa semicircular de raio
(domínio
), sujeita às condições de contorno:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
A situação de regime permanente significa que a temperatura satisfaz a equação de Laplace em coordenadas polares (equilíbrio termal sem fontes):
Reescrevo claramente as condições de contorno para esta PDE:
Vou buscar uma solução que satisfaça a PDE dentro do disco semicircular e esses contornos.
Passo 3
É conveniente transformar as condições angulares em condições homogêneas (zero) para usar séries de senos/cossenos. Defino a função auxiliar
Observações importantes sobre essa definição:
- A função
é linear em e independente de . Sua segunda derivada em é zero, então ela é harmônica em (quando inserida na equação de Laplace, a parte angular dá zero). - Portanto
também satisfaz a equação de Laplace:
As condições de contorno para
são:
Ou seja,
tem contorno angular homogêneo (
em
) e no arco
tem valor conhecido
.]
Passo 4
Vou resolver a equação de Laplace para
por separação de variáveis: suponho
Substituindo na equação e dividindo por
obtemos a separação
logo cada termo é uma constante
. Assim obtemos os ODEs:
Impondo as condições angulares homogêneas
e
, reconhecemos os autovalores e autovetores:
- Para
com as soluções são , que satisfazem . - O caso
dá e linear, mas isso não satisfaz as duas condições homogêneas exceto trivialmente, então descartamos .
Passo 5
Para
a equação radial é
cuja solução geral é
Como a solução física
(e portanto
) deve ser finita em
dentro do disco, devemos ter
(o termo
diverge em
para
). Assim as componentes radiais são
.
Passo 6
Combinando as modos, a solução geral regular para
é a série de Fourier-seno radial:
onde os coeficientes
são determinados pela condição
.
Passo 7
No contorno
devemos ter
Usamos a ortogonalidade dos senos no intervalo
. A fórmula para os coeficientes da série de seno é
Posso tirar
fora da integral:
Passo 8
Calculo a integral
Primeiro termo:
Segundo termo (integração por partes): seja
. Tomando
obtemos
. Logo
Como
, o último termo some, ficando
Portanto
Surpresa agradável:
para todo
.
Passo 9
Com
obtemos os coeficientes
Assim
Voltando para
pela definição
, obtemos a solução final:
Essa série converge uniformemente para
e satisfaz todas as condições de contorno e a equação de Laplace.