onde u_{0} é uma constante e as extremidades \theta=0 e \theta=\pi estão isoladas.
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos.
Queremos determinar a temperatura de regime permanente u(r,\theta)\) na placa semicircular de raio \(2\). As informações dadas são:
\[u(2,\theta)=\begin{cases} u_{0}, & 0<\theta<\pi/2,\\[4pt] 0, & \pi/2<\theta<\pi, \end{cases}
onde u_{0}\] é uma constante. As extremidades \(\theta=0 e \theta=\pi estão isoladas.
Pergunta explícita: encontrar u(r,\theta) para 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le\pi, assumindo solução regular no interior.
Equação de regime permanente (estado estacionário térmico): temperatura harmônica, isto é \Delta u=0 no domínio.
Condição na fronteira circular: valor prescrito (Dirichlet) u(2,\theta) dado por função descontínua anterior.
Condição nas extremidades \theta=0,\pi: isoladas → condição de fluxo nulo (Neumann) ao longo dessas linhas, que em coordenadas polares corresponde a \partial u/\partial\theta=0 nessas linhas.
Regularidade no centro r=0: temperatura finita (sem singularidade).]
Passo 2
Escrever o problema matematicamente e a estratégia de solução (sem resolver ainda).
A equação de Laplace em coordenadas polares é
Estratégia: usar separação de variáveis u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta). As condições de Neumann em \theta fazem aparecer funções trigonométricas do tipo \cos(n\theta). Expandiremos f(\theta) numa série de cossenos (série de Fourier do tipo coseno em [0,\pi]) e ajustaremos os coeficientes radialmente para atender no raio r=2. Vou detalhar cada etapa.]
Passo 3
Separação de variáveis e problema em \theta.
Assumimos u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta). Substituindo em Laplace e dividindo por R\Theta dá
Isolando as partes, obtemos duas equações dependentes de uma constante de separação \lambda:
\Theta''(\theta)+\lambda\Theta(\theta)=0,
r^{2}R''(r)+rR'(r)-\lambda R(r)=0.
Agora impondo as condições em \theta: \Theta'(0)=0 e \Theta'(\pi)=0. Vamos resolver esse autovalor em \theta.
Passo 4
Resolver o problema de autovalores em \theta com Neumann.
A equação é \Theta''+\lambda\Theta=0 com \Theta'(0)=\Theta'(\pi)=0. Os autovalores e autovetores conhecidos são:
\lambda=0 com solução constante \Theta_{0}(\theta)= const.
Para \lambda=n^{2} com n=1,2,\dots, as soluções são \Theta_{n}(\theta)=\cos(n\theta).
Verificação da condição: \Theta_{n}'(\theta)=-n\sin(n\theta) anula-se em \theta=0 e \theta=\pi porque \sin(n\pi)=0. Logo os modos válidos são \cos(n\theta) para n=0,1,2,\dots.
Passo 5
Resolver a equação radial para cada modo \lambda=n^{2}.
A equação radial é
r^{2}R''+rR'-n^{2}R=0,
que é a equação de Euler-Cauchy com soluções gerais R(r)=A r^{n}+B r^{-n} quando n\ge 1. Para n=0 a equação reduz a r^{2}R''+rR'=0 cuja solução geral é R(r)=C\ln r + D.
Impor regularidade no centro r=0: termos singulars são proibidos. Para n\ge 1 o termo r^{-n} diverge em r=0, então devemos tomar B=0. Para n=0, o termo \ln r diverge, então C=0. Portanto as partes radiais regulares são:
Observação útil: \sin\bigl(n\pi/2\bigr) vale 0 para n par, e alterna entre \pm1 para n ímpar. Especificamente, para n=2k+1 temos \sin\bigl((2k+1)\pi/2\bigr)=(-1)^{k}.
Passo 9
Escrever os coeficientes a_{n} e a solução final simplificada.
Usando a_{n}=A_{n}/2^{n} obtemos para n\ge1
a_{n}=\frac{2u_{0}}{\pi n 2^{n}}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).
Como A_{n}=0 para n par, apenas os modos ímpares sobrevivem. Para n=2k+1 (k=0,1,2,\dots) temos
Comentários finais, verificação rápida e incentivo.
A série converge uniformemente para r\le 2 (cada termo tem fator (r/2)^{n} garantindo decaimento quando r<2; em r=2 retorna à série de Fourier de f).
As condições de isolamento em \theta=0,\pi são satisfeitas porque usamos modos \cos(n\theta) cuja derivada em \theta se anula nesses pontos.
Você pode usar a expressão dada para obter valores numéricos para u(r,\theta) aproximando somando os primeiros termos da série — e isso é prático na prova: escreva a forma do desenvolvimento e calcule alguns primeiros coeficientes se pedirem um valor específico.
Força aí — a técnica é sempre a mesma: separar, resolver o problema angular com as condições (aqui Neumann → cossenos), resolver radialmente e ajustar os coeficientes com a série de Fourier do contorno.