Determine a temperatura de regime permanente u(r, \theta) em uma placa semicircular de raio r=2 se
u(2, \theta)=\left\{\begin{array}{cc} u_{0}, & 0<\theta<\pi / 2 \\\\ 0, & \pi / 2<\theta<\pi, \end{array}\right.
onde u_{0} é uma constante e as extremidades \theta=0 e \theta=\pi estão isoladas.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos.
Queremos determinar a temperatura de regime permanente u(r,\theta)\) na placa semicircular de raio \(2\). As informações dadas são: \[u(2,\theta)=\begin{cases} u_{0}, & 0<\theta<\pi/2,\\[4pt] 0, & \pi/2<\theta<\pi, \end{cases}
onde u_{0}\] é uma constante. As extremidades \(\theta=0 e \theta=\pi estão isoladas.
Pergunta explícita: encontrar u(r,\theta) para 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le\pi, assumindo solução regular no interior.
Dados relevantes listados:
  1. Região: semicirculo 0\le r\le 2,\;0\le\theta\le\pi.
  2. Equação de regime permanente (estado estacionário térmico): temperatura harmônica, isto é \Delta u=0 no domínio.
  3. Condição na fronteira circular: valor prescrito (Dirichlet) u(2,\theta) dado por função descontínua anterior.
  4. Condição nas extremidades \theta=0,\pi: isoladas → condição de fluxo nulo (Neumann) ao longo dessas linhas, que em coordenadas polares corresponde a \partial u/\partial\theta=0 nessas linhas.
  5. Regularidade no centro r=0: temperatura finita (sem singularidade).]

Passo 2

Escrever o problema matematicamente e a estratégia de solução (sem resolver ainda).
A equação de Laplace em coordenadas polares é
\frac{\partial^{2}u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial \theta^{2}}=0.
As condições de fronteira são:
u(2,\theta)=f(\theta)\quad\text{com }f(\theta)=\begin{cases} u_{0}, & 0<\theta<\pi/2,\\[4pt] 0, & \pi/2<\theta<\pi, \end{cases}
e
\frac{\partial u}{\partial \theta}(r,0)=0,\qquad \frac{\partial u}{\partial \theta}(r,\pi)=0\quad\text{para }0<r<2.
Estratégia: usar separação de variáveis u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta). As condições de Neumann em \theta fazem aparecer funções trigonométricas do tipo \cos(n\theta). Expandiremos f(\theta) numa série de cossenos (série de Fourier do tipo coseno em [0,\pi]) e ajustaremos os coeficientes radialmente para atender no raio r=2. Vou detalhar cada etapa.]

Passo 3

Separação de variáveis e problema em \theta.
Assumimos u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta). Substituindo em Laplace e dividindo por R\Theta
\frac{r^{2}R''(r)+rR'(r)}{R(r)}+\frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)}=0.
Isolando as partes, obtemos duas equações dependentes de uma constante de separação \lambda:
\Theta''(\theta)+\lambda\Theta(\theta)=0,
r^{2}R''(r)+rR'(r)-\lambda R(r)=0.
Agora impondo as condições em \theta: \Theta'(0)=0 e \Theta'(\pi)=0. Vamos resolver esse autovalor em \theta.

Passo 4

Resolver o problema de autovalores em \theta com Neumann.
A equação é \Theta''+\lambda\Theta=0 com \Theta'(0)=\Theta'(\pi)=0. Os autovalores e autovetores conhecidos são:
  • \lambda=0 com solução constante \Theta_{0}(\theta)= const.
  • Para \lambda=n^{2} com n=1,2,\dots, as soluções são \Theta_{n}(\theta)=\cos(n\theta).
    Verificação da condição: \Theta_{n}'(\theta)=-n\sin(n\theta) anula-se em \theta=0 e \theta=\pi porque \sin(n\pi)=0. Logo os modos válidos são \cos(n\theta) para n=0,1,2,\dots.

Passo 5

Resolver a equação radial para cada modo \lambda=n^{2}.
A equação radial é
r^{2}R''+rR'-n^{2}R=0,
que é a equação de Euler-Cauchy com soluções gerais R(r)=A r^{n}+B r^{-n} quando n\ge 1. Para n=0 a equação reduz a r^{2}R''+rR'=0 cuja solução geral é R(r)=C\ln r + D.
Impor regularidade no centro r=0: termos singulars são proibidos. Para n\ge 1 o termo r^{-n} diverge em r=0, então devemos tomar B=0. Para n=0, o termo \ln r diverge, então C=0. Portanto as partes radiais regulares são:
R_{0}(r)=\text{const},\qquad R_{n}(r)=r^{n}\quad(n\ge1).

Passo 6

Forma geral da solução regular.
Combinando os modos em \theta e as partes radiais regulares, a solução geral regular no disco é
u(r,\theta)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} r^{n}\cos(n\theta),
onde os a_{n} são constantes a determinar a partir da condição de contorno u(2,\theta)=f(\theta).

Passo 7

Expandir f(\theta) em série de cossenos e relacionar coeficientes.
Queremos escrever
f(\theta)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\cos(n\theta),
na qual os coeficientes para expansão em [0,\pi] são dados por (fórmula de Fourier-cosseno):
A_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(\theta)\,d\theta,
A_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(\theta)\cos(n\theta)\,d\theta\quad(n\ge1).
No contorno r=2 temos a igualdade
u(2,\theta)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 2^{n}\cos(n\theta)=f(\theta)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\cos(n\theta).
Comparando coeficientes:
a_{0}=A_{0},\qquad a_{n}=\frac{A_{n}}{2^{n}}\quad(n\ge1).

Passo 8

Calcular os coeficientes A_{0} e A_{n} usando a função f(\theta) dada (aqui peguei f do enunciado).
Primeiro,
A_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(\theta)\,d\theta=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi/2} u_{0}\,d\theta=\frac{u_{0}}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{u_{0}}{2}.
Agora os A_{n} para n\ge1:
A_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(\theta)\cos(n\theta)\,d\theta=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2} u_{0}\cos(n\theta)\,d\theta.
Calcule a integral:
\int_{0}^{\pi/2}\cos(n\theta)\,d\theta=\left[\frac{\sin(n\theta)}{n}\right]_{0}^{\pi/2}=\frac{\sin\bigl(n\pi/2\bigr)}{n}.
Portanto
A_{n}=\frac{2u_{0}}{\pi}\cdot\frac{\sin\bigl(n\pi/2\bigr)}{n}=\frac{2u_{0}}{\pi n}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).
Observação útil: \sin\bigl(n\pi/2\bigr) vale 0 para n par, e alterna entre \pm1 para n ímpar. Especificamente, para n=2k+1 temos \sin\bigl((2k+1)\pi/2\bigr)=(-1)^{k}.

Passo 9

Escrever os coeficientes a_{n} e a solução final simplificada.
Usando a_{n}=A_{n}/2^{n} obtemos para n\ge1
a_{n}=\frac{2u_{0}}{\pi n 2^{n}}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).
Como A_{n}=0 para n par, apenas os modos ímpares sobrevivem. Para n=2k+1 (k=0,1,2,\dots) temos
a_{2k+1}=\frac{2u_{0}}{\pi (2k+1)2^{2k+1}}(-1)^{k}.
Substituindo tudo em u(r,\theta)=a_{0}+\sum_{n\ge1} a_{n} r^{n}\cos(n\theta) com a_{0}=u_{0}/2, obtemos a solução:
u(r,\theta)=\frac{u_{0}}{2}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2u_{0}}{\pi (2k+1)}(-1)^{k}\left(\frac{r}{2}\right)^{2k+1}\cos\bigl((2k+1)\theta\bigr).
Pode-se também escrever a soma sobre n ímpares:
u(r,\theta)=\frac{u_{0}}{2}+\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{2u_{0}}{\pi n}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\left(\frac{r}{2}\right)^{n}\cos(n\theta).í

Passo 10

Comentários finais, verificação rápida e incentivo.
  • A série converge uniformemente para r\le 2 (cada termo tem fator (r/2)^{n} garantindo decaimento quando r<2; em r=2 retorna à série de Fourier de f).
  • As condições de isolamento em \theta=0,\pi são satisfeitas porque usamos modos \cos(n\theta) cuja derivada em \theta se anula nesses pontos.
  • Você pode usar a expressão dada para obter valores numéricos para u(r,\theta) aproximando somando os primeiros termos da série — e isso é prático na prova: escreva a forma do desenvolvimento e calcule alguns primeiros coeficientes se pedirem um valor específico.
    Força aí — a técnica é sempre a mesma: separar, resolver o problema angular com as condições (aqui Neumann → cossenos), resolver radialmente e ajustar os coeficientes com a série de Fourier do contorno.

Resposta

u(r,\theta)=\frac{u_{0}}{2}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2u_{0}}{\pi (2k+1)}(-1)^{k}\left(\frac{r}{2}\right)^{2k+1}\cos\bigl((2k+1)\theta\bigr).

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