Encontre D_{u} f em P.
f(x, y, z)=y e^{x y}+z^{2} ; P(0,2,3) ; u=\frac{2}{7} i-\frac{3}{7} j+\frac{6}{7} k

Passo 1

O enunciado pede para calcular D_{u}f em P. Dados fornecidos:
f(x,y,z)=y e^{x y}+z^{2},
P=(0,2,3),
u=\frac{2}{7}\,i-\frac{3}{7}\,j+\frac{6}{7}\,k.
Pergunta explícita: calcular a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor unitário u.

Passo 2

Lembrete da fórmula e por que ela vale: a derivada direcional de uma função diferenciável f no ponto P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar entre o gradiente de f em P e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
Aqui \nabla f(P) é o vetor das derivadas parciais de f em P, e \cdot é o produto escalar usual. É importante que \mathbf{u} seja unitário; se não fosse, primeiro normalizaríamos \mathbf{u}.

Passo 3

Verificação de que u é unitário (tem norma 1). O vetor dado é \mathbf{u}=\left(\dfrac{2}{7},-\dfrac{3}{7},\dfrac{6}{7}\right). A norma é
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\left(\frac{2}{7}\right)^{2}+\left(-\frac{3}{7}\right)^{2}+\left(\frac{6}{7}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{4+9+36}{49}}=\sqrt{\frac{49}{49}}=1.
Portanto \mathbf{u} já é unitário e podemos aplicar diretamente a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de f. Vou explicar passo a passo como diferenciar:
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: em f(x,y,z)=y e^{x y}+z^{2} trate y e z como constantes ao derivar em relação a x. A derivada de e^{x y} em relação a x é y e^{x y}. Multiplicando pelo fator externo y obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=y\cdot (y e^{x y})=y^{2}e^{x y}.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}: aqui x e z são constantes. Use produto: y e^{x y} tem derivada 1\cdot e^{x y}+y\cdot (x e^{x y}). Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x y}+x y e^{x y}=(1+xy)e^{x y}.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial z}: apenas z^{2} depende de z, então
\frac{\partial f}{\partial z}=2z.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais em P=(0,2,3). Substituo x=0, y=2, z=3:
\frac{\partial f}{\partial x}(P)=y^{2}e^{x y}\Big|_{P}=2^{2}e^{0}=4\cdot 1=4,
\frac{\partial f}{\partial y}(P)=(1+xy)e^{xy}\Big|_{P}=(1+0\cdot 2)e^{0}=1\cdot 1=1,
\frac{\partial f}{\partial z}(P)=2z\Big|_{P}=2\cdot 3=6.
Portanto o gradiente em P é
\nabla f(P)=(4,\,1,\,6).

Passo 6

Calcular o produto escalar \nabla f(P)\cdot \mathbf{u}. Com \mathbf{u}=\left(\dfrac{2}{7},-\dfrac{3}{7},\dfrac{6}{7}\right) temos
D_{\mathbf{u}}f(P)= (4,1,6)\cdot\left(\frac{2}{7},-\frac{3}{7},\frac{6}{7}\right) =4\cdot\frac{2}{7}+1\cdot\left(-\frac{3}{7}\right)+6\cdot\frac{6}{7}.
Faço as contas passo a passo:
4\cdot\frac{2}{7}=\frac{8}{7},\qquad -\frac{3}{7}=\frac{-3}{7},\qquad 6\cdot\frac{6}{7}=\frac{36}{7}.
Somando:
\frac{8}{7}-\frac{3}{7}+\frac{36}{7}=\frac{8-3+36}{7}=\frac{41}{7}.

Resposta

\dfrac{41}{7}

Exercícios relacionados