Encontre D_{u} f em P. f(x, y, z)=y e^{x y}+z^{2} ; P(0,2,3) ; u=\frac{2}{7} i-\frac{3}{7} j+\frac{6}{7} k
Passo 1
O enunciado pede para calcular D_{u}f em P. Dados fornecidos:
f(x,y,z)=y e^{x y}+z^{2},
P=(0,2,3),
u=\frac{2}{7}\,i-\frac{3}{7}\,j+\frac{6}{7}\,k.
Pergunta explícita: calcular a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor unitário u.
Passo 2
Lembrete da fórmula e por que ela vale: a derivada direcional de uma função diferenciável f no ponto P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar entre o gradiente de f em P e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
Aqui \nabla f(P) é o vetor das derivadas parciais de f em P, e \cdot é o produto escalar usual. É importante que \mathbf{u} seja unitário; se não fosse, primeiro normalizaríamos \mathbf{u}.
Passo 3
Verificação de que u é unitário (tem norma 1). O vetor dado é \mathbf{u}=\left(\dfrac{2}{7},-\dfrac{3}{7},\dfrac{6}{7}\right). A norma é
Portanto \mathbf{u} já é unitário e podemos aplicar diretamente a fórmula do passo anterior.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de f. Vou explicar passo a passo como diferenciar:
Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: em f(x,y,z)=y e^{x y}+z^{2} trate y e z como constantes ao derivar em relação a x. A derivada de e^{x y} em relação a x é y e^{x y}. Multiplicando pelo fator externo y obtemos