Determine a temperatura da superfície, em estado estacionário, de um cabo elétrico, de 25 cm de diâmetro, que está suspenso horizontalmente em um ar parado, em que calor é dissipado pelo cabo a uma taxa de 27 W por metro de comprimento. A temperatura do ar é 30^{\circ} \mathrm{C}.
Passo 1
O enunciado pede a temperatura da superfície, em regime estacionário, de um cabo cilíndrico horizontal com os seguintes dados fornecidos:
diâmetro do cabo: D=0,25\\ \mathrm{m};
potência dissipada por unidade de comprimento: q' = 27\\ \mathrm{W/m};
temperatura do ar ambiente (temperatura de referência): T_{\infty}=30^\circ\mathrm{C} (ou seja, T_{\infty}=303{,}15\\ \mathrm{K}).
O que se quer: calcular a temperatura da superfície do cabo T_s em graus Celsius, no estado estacionário, supondo que o calor é dissipado para o ar parado ao redor do cilindro.
Passo 2
Princípio físico e equação de balanço de energia (intuição prática).
Em regime estacionário, a potência por unidade de comprimento dissipada pelo cabo (q') deve ser removida pela convecção do ar ao redor do cabo. Usamos a lei de resfriamento de Newton para fluxo por unidade de comprimento:
q' = h \, P \, (T_s - T_{\infty}),
onde:
h é o coeficiente médio de transferência de calor por convecção (em \mathrm{W/(m^2\cdot K)});
P é o perímetro do cilindro por unidade de comprimento, isto é, a circunferência P=\pi D;
T_s é a temperatura da superfície do cabo (em K);
T_{\infty} é a temperatura do ar (em K).
Para encontrar T_s precisamos de h. Mas h depende das propriedades do ar e da diferença de temperatura (T_s-T_{\infty}). Portanto vamos estimar h usando correlações empíricas para convecção natural em cilindro horizontal e iterar até convergência.
Passo 3
Correlação empírica usada (explicação didática).
Uma correlação prática e amplamente usada para convecção natural ao redor de cilindro horizontal é a de Churchill & Chu (forma apropriada para um grande intervalo de números adimensionais). Ela fornece o número de Nusselt médio \overline{Nu}_D em função do número de Rayleigh \mathrm{Ra}_D e do número de Prandtl \mathrm{Pr}:
g é a aceleração da gravidade (9{,}81\\ \mathrm{m/s^2});
\beta é o coeficiente volumétrico de expansão térmica do ar (para gás ideal \beta = 1/T_f, com T_f a temperatura de filme em K — veja abaixo);
\nu é a viscosidade cinemática do ar (em \mathrm{m^2/s});
\mathrm{Pr} é o número de Prandtl do ar (\mathrm{Pr} = \dfrac{\nu}{\alpha} = \dfrac{\mu c_p}{k} — em prática calculado com \mu, c_p, k);
k é a condutividade térmica do ar (em \mathrm{W/(m\cdot K)});
T_f é a temperatura de filme definida por T_f = (T_s + T_{\infty})/2. Usamos propriedades do ar ( \mu,\\ k,\\ c_p,\\ \nu) avaliadas em T_f.
Estratégia prática: supondo um T_s inicial, calcula-se T_f, avaliam-se as propriedades do ar em T_f (usando Sutherland para viscosidade e equação dos gases ideais para densidade), calcula-se \mathrm{Gr}_D, \mathrm{Ra}_D, \overline{Nu}_D, h, e então uma nova estimativa de T_s a partir de q' = h P (T_s - T_{\infty}). Repetir até convergir.
Passo 4
Propriedades do ar e métodos de cálculo (fórmulas e justificativas).
Usarei:
equação dos gases ideais para a densidade: \rho = \dfrac{p}{R\,T_f}, com p=101325\\ \mathrm{Pa} e R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)};
lei de Sutherland para viscosidade dinâmica \mu(T):
Faço uma primeira estimativa grosseira para T_s: suponho \Delta T=T_s-T_{\infty}\approx 10\\ \mathrm{K} para obter propriedades iniciais razoáveis. Em seguida vou iterar até convergência.
Passo 6
Primeira iteração — cálculo das propriedades em temperatura de filme e de \mathrm{Nu}.
Supondo inicialmente \Delta T = 10\\ \mathrm{K}, então T_s \approx 313{,}15\\ \mathrm{K} e temperatura de filme
Segunda iteração (repetir com novo \Delta T).
Com \Delta T \approx 13{,}7\\ \mathrm{K} temos T_f \approx (303{,}15 + 316{,}85)/2 = 310{,}0\\ \mathrm{K}.
Recalculo rápido das propriedades (mesma metodologia do Passo 6):
o que dá T_s \approx 303{,}15 + 12{,}6 = 315{,}75\\ \mathrm{K} (≈ 42{,}6^\circ\mathrm{C}).
Passo 9
Iteração final e convergência.
Mais uma iteração com \Delta T \approx 12{,}6\\ \mathrm{K} fornece (repetindo os cálculos de propriedades e \mathrm{Nu}) um valor de h aproximadamente 2{,}69\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}, e então
O cabo, embora relativamente grosso (D=0{,}25\\ \mathrm{m}), dissipa apenas 27\\ \mathrm{W/m}, que é uma taxa de calor moderada; por isso a diferença de temperatura no equilíbrio é pequena (cerca de 12{,}8\\ \mathrm{K}).
A convecção natural (com h da ordem de 2{,}7\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}) é suficiente para remover essa potência sem aquecer muito a superfície.
O procedimento usou correlação empírica e propriedades do ar avaliadas à temperatura de filme; esse é o método padrão em provas e em engenharia sem simulação numérica detalhada.