Determine a temperatura da superfície, em estado estacionário, de um cabo elétrico, de 25 cm de diâmetro, que está suspenso horizontalmente em um ar parado, em que calor é dissipado pelo cabo a uma taxa de 27 W por metro de comprimento. A temperatura do ar é 30^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura da superfície, em regime estacionário, de um cabo cilíndrico horizontal com os seguintes dados fornecidos:
  • diâmetro do cabo: D=0,25\\ \mathrm{m};
  • potência dissipada por unidade de comprimento: q' = 27\\ \mathrm{W/m};
  • temperatura do ar ambiente (temperatura de referência): T_{\infty}=30^\circ\mathrm{C} (ou seja, T_{\infty}=303{,}15\\ \mathrm{K}).
O que se quer: calcular a temperatura da superfície do cabo T_s em graus Celsius, no estado estacionário, supondo que o calor é dissipado para o ar parado ao redor do cilindro.

Passo 2

Princípio físico e equação de balanço de energia (intuição prática).
Em regime estacionário, a potência por unidade de comprimento dissipada pelo cabo ( q') deve ser removida pela convecção do ar ao redor do cabo. Usamos a lei de resfriamento de Newton para fluxo por unidade de comprimento:
q' = h \, P \, (T_s - T_{\infty}),
onde:
  • h é o coeficiente médio de transferência de calor por convecção (em \mathrm{W/(m^2\cdot K)});
  • P é o perímetro do cilindro por unidade de comprimento, isto é, a circunferência P=\pi D;
  • T_s é a temperatura da superfície do cabo (em K);
  • T_{\infty} é a temperatura do ar (em K).
Para encontrar T_s precisamos de h. Mas h depende das propriedades do ar e da diferença de temperatura (T_s-T_{\infty}). Portanto vamos estimar h usando correlações empíricas para convecção natural em cilindro horizontal e iterar até convergência.

Passo 3

Correlação empírica usada (explicação didática).
Uma correlação prática e amplamente usada para convecção natural ao redor de cilindro horizontal é a de Churchill & Chu (forma apropriada para um grande intervalo de números adimensionais). Ela fornece o número de Nusselt médio \overline{Nu}_D em função do número de Rayleigh \mathrm{Ra}_D e do número de Prandtl \mathrm{Pr}:
\overline{Nu}_D = 0{,}36 + \dfrac{0{,}518\,\mathrm{Ra}_D^{1/4}}{\left[1 + \left(\dfrac{0{,}559}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16}\right]^{4/9}}.
As relações entre grandezas:
\mathrm{Ra}_D = \mathrm{Gr}_D \,\mathrm{Pr}, \qquad \mathrm{Gr}_D = \dfrac{g\,\beta\,(T_s - T_{\infty})\,D^{3}}{\nu^{2}}, \qquad h = \dfrac{\overline{Nu}_D\,k}{D}.
Explicando cada símbolo:
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2});
  • \beta é o coeficiente volumétrico de expansão térmica do ar (para gás ideal \beta = 1/T_f, com T_f a temperatura de filme em K — veja abaixo);
  • \nu é a viscosidade cinemática do ar (em \mathrm{m^2/s});
  • \mathrm{Pr} é o número de Prandtl do ar ( \mathrm{Pr} = \dfrac{\nu}{\alpha} = \dfrac{\mu c_p}{k} — em prática calculado com \mu, c_p, k);
  • k é a condutividade térmica do ar (em \mathrm{W/(m\cdot K)});
  • T_f é a temperatura de filme definida por T_f = (T_s + T_{\infty})/2. Usamos propriedades do ar ( \mu,\\ k,\\ c_p,\\ \nu) avaliadas em T_f.
Estratégia prática: supondo um T_s inicial, calcula-se T_f, avaliam-se as propriedades do ar em T_f (usando Sutherland para viscosidade e equação dos gases ideais para densidade), calcula-se \mathrm{Gr}_D, \mathrm{Ra}_D, \overline{Nu}_D, h, e então uma nova estimativa de T_s a partir de q' = h P (T_s - T_{\infty}). Repetir até convergir.

Passo 4

Propriedades do ar e métodos de cálculo (fórmulas e justificativas).
Usarei:
  • equação dos gases ideais para a densidade: \rho = \dfrac{p}{R\,T_f}, com p=101325\\ \mathrm{Pa} e R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)};
  • lei de Sutherland para viscosidade dinâmica \mu(T):
\mu(T) = \mu_{\text{ref}}\left(\dfrac{T}{T_{\text{ref}}}\right)^{3/2}\dfrac{T_{\text{ref}}+S}{T+S},
com \mu_{\text{ref}}=1{,}716\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} em T_{\text{ref}}=273\\ \mathrm{K} e S=110{,}4\\ \mathrm{K};
  • viscosidade cinemática: \nu = \dfrac{\mu}{\rho};
  • capacidade térmica a pressão constante: c_p \approx 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (valor praticamente constante neste intervalo);
  • condutividade térmica do ar aproximada por k\approx 0{,}0263\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} (pequena variação com T, aqui suficiente);
  • número de Prandtl: \mathrm{Pr} = \dfrac{\mu c_p}{k};
  • coeficiente volumétrico de expansão: \beta = 1/T_f (gás ideal).
Tudo isso será usado dentro do laço iterativo.

Passo 5

Dados numéricos iniciais (convertidos para SI) e geometria:
D = 0{,}25\\ \mathrm{m},\qquad P = \pi D = \pi(0{,}25)=0{,}7854\\ \mathrm{m},
q' = 27\\ \mathrm{W/m},\qquad T_{\infty}=303{,}15\\ \mathrm{K}.
Faço uma primeira estimativa grosseira para T_s: suponho \Delta T=T_s-T_{\infty}\approx 10\\ \mathrm{K} para obter propriedades iniciais razoáveis. Em seguida vou iterar até convergência.

Passo 6

Primeira iteração — cálculo das propriedades em temperatura de filme e de \mathrm{Nu}.
Supondo inicialmente \Delta T = 10\\ \mathrm{K}, então T_s \approx 313{,}15\\ \mathrm{K} e temperatura de filme
T_f = \dfrac{T_s + T_{\infty}}{2} \approx \dfrac{313{,}15 + 303{,}15}{2} = 308{,}15\\ \mathrm{K}.
Calcule \mu(T_f) por Sutherland:
\mu = 1{,}716\times 10^{-5}\left(\dfrac{308{,}15}{273}\right)^{3/2}\dfrac{273 + 110{,}4}{308{,}15 + 110{,}4}\approx 1{,}89\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Densidade:
\rho = \dfrac{101325}{287\cdot 308{,}15}\approx 1{,}14\\ \mathrm{kg/m^3}.
Viscosidade cinemática:
\nu = \dfrac{\mu}{\rho}\approx \dfrac{1{,}89\times 10^{-5}}{1{,}14}=1{,}66\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
Prandtl:
\mathrm{Pr} = \dfrac{\mu c_p}{k} \approx \dfrac{1{,}89\times 10^{-5}\cdot 1005}{0{,}0263}\approx 0{,}72.
Coeficiente volumétrico:
\beta = \dfrac{1}{T_f}\approx \dfrac{1}{308{,}15}=0{,}003245\\ \mathrm{K^{-1}}.
Número de Grashof (para \Delta T=10\\ \mathrm{K}):
\mathrm{Gr}_D = \dfrac{g\,\beta\,\Delta T\,D^{3}}{\nu^{2}} = \dfrac{9{,}81\cdot 0{,}003245\cdot 10\cdot (0{,}25)^{3}}{(1{,}66\times 10^{-5})^{2}}\approx 1{,}8\times 10^{7}.
Rayleigh:
\mathrm{Ra}_D = \mathrm{Gr}_D\,\mathrm{Pr}\approx 1{,}8\times 10^{7}\cdot 0{,}72\approx 1{,}3\times 10^{7}.
Aplicando Churchill & Chu:
\overline{Nu}_D \approx 0{,}36 + \dfrac{0{,}518\,(\mathrm{Ra}_D)^{1/4}}{\left[1 + \left(\dfrac{0{,}559}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16}\right]^{4/9}}\approx 23{,}9.
Então
h=\dfrac{\overline{Nu}_D\,k}{D}\approx \dfrac{23{,}9\cdot 0{,}0263}{0{,}25}\approx 2{,}51\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 7

Atualização de \Delta T a partir de q' = h P (T_s - T_{\infty}) e nova estimativa de T_s.
Com o h calculado:
\Delta T_{\text{calc}} = \dfrac{q'}{h P} = \dfrac{27}{2{,}51\cdot 0{,}7854}\approx 13{,}7\\ \mathrm{K}.
Então a nova estimativa de T_s é
T_s = T_{\infty} + \Delta T_{\text{calc}} \approx 303{,}15 + 13{,}7 = 316{,}85\\ \mathrm{K}\quad(\approx 43{,}7^\circ\mathrm{C}).

Passo 8

Segunda iteração (repetir com novo \Delta T).
Com \Delta T \approx 13{,}7\\ \mathrm{K} temos T_f \approx (303{,}15 + 316{,}85)/2 = 310{,}0\\ \mathrm{K}.
Recalculo rápido das propriedades (mesma metodologia do Passo 6):
  • \mu \approx 1{,}89\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
  • \rho \approx 1{,}14\\ \mathrm{kg/m^3},
  • \nu \approx 1{,}66\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},
  • \mathrm{Pr}\approx 0{,}72,
  • \beta \approx 1/310{,}0 = 0{,}003226\\ \mathrm{K^{-1}}.
Calculo de \mathrm{Gr}_D para \Delta T=13{,}7:
\mathrm{Gr}_D \approx 2{,}45\times 10^{7},\qquad \mathrm{Ra}_D\approx 1{,}77\times 10^{7}.
Aplicando Churchill & Chu obtém-se \overline{Nu}_D \approx 25{,}9 e
h \approx \dfrac{25{,}9\cdot 0{,}0263}{0{,}25}\approx 2{,}72\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Nova \Delta T:
\Delta T_{\text{calc}} = \dfrac{27}{2{,}72\cdot 0{,}7854}\approx 12{,}6\\ \mathrm{K},
o que dá T_s \approx 303{,}15 + 12{,}6 = 315{,}75\\ \mathrm{K} (≈ 42{,}6^\circ\mathrm{C}).

Passo 9

Iteração final e convergência.
Mais uma iteração com \Delta T \approx 12{,}6\\ \mathrm{K} fornece (repetindo os cálculos de propriedades e \mathrm{Nu}) um valor de h aproximadamente 2{,}69\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}, e então
\Delta T_{\text{calc}} = \dfrac{27}{2{,}69\cdot 0{,}7854}\approx 12{,}8\\ \mathrm{K}.
As alterações entre iterações ficaram pequenas ( 12{,}6 12{,}8 12{,}8\\ \mathrm{K}), portanto consideramos convergido. Tomando o valor final
\Delta T \approx 12{,}8\\ \mathrm{K},
resulta
T_s = T_{\infty} + \Delta T \approx 303{,}15 + 12{,}8 = 315{,}95\\ \mathrm{K}.
Convertendo para graus Celsius:
T_s \approx 315{,}95 - 273{,}15 = 42{,}8^\circ\mathrm{C}.

Passo 10

Interpretação final e verificação rápida.
  • O cabo, embora relativamente grosso ( D=0{,}25\\ \mathrm{m}), dissipa apenas 27\\ \mathrm{W/m}, que é uma taxa de calor moderada; por isso a diferença de temperatura no equilíbrio é pequena (cerca de 12{,}8\\ \mathrm{K}).
  • A convecção natural (com h da ordem de 2{,}7\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}) é suficiente para remover essa potência sem aquecer muito a superfície.
  • O procedimento usou correlação empírica e propriedades do ar avaliadas à temperatura de filme; esse é o método padrão em provas e em engenharia sem simulação numérica detalhada.

Resposta

T_s \approx 42{,}8^\circ\mathrm{C}

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