Exemplo 6.1 Foi determinado que os resultados experimentais para o coeficiente de transferência de calor local h x para o escoamento sobre uma placa plana com superfície extremamente rugosa seguem a seguinte relação:
h x=a x^{-0,1}
Onde a é um coeficiente ( \mathrm{W} / m 1,9 . \mathrm{K} ) e \times(\mathrm{m}) é a distância da aresta frontal da placa.
  1. Desenvolva uma expressão para a razão entre o coeficiente de transferência de calor médio \overline{h x} em uma placa com comprimento x e o coeficiente de transferência de calor local h x em x.
  2. Mostre, de forma qualitativa, a variação de h x e \overline{h x} médio em função de x.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação para o coeficiente local de transferência de calor ao longo da placa:
h_x = a\,x^{-0,1},
onde a é uma constante conhecida (unidades dadas no enunciado) e x (em \mathrm{m}) é a distância a partir da aresta frontal da placa.
As perguntas que o enunciado faz são:
  1. Desenvolver uma expressão para a razão entre o coeficiente de transferência de calor médio \overline{h_x} sobre a placa de comprimento x e o coeficiente local h_x no ponto x. Ou seja, obter \dfrac{\overline{h_x}}{h_x}.
  2. Mostrar qualitativamente como variam h_x e \overline{h_x} em função de x (isto é, dizer se crescem ou decrescem e com que intensidade relativa).

Passo 2

Definir precisamente o coeficiente médio \overline{h_x} pedido. Para uma grandeza local h(s) ao longo de uma placa de comprimento x, o coeficiente médio ao longo de 0\le s\le x é definido por:
\overline{h_x}=\frac{1}{x}\int_{0}^{x} h(s)\,ds.
Aqui s é a variável de integração (posição ao longo da placa); h(s) é o coeficiente local em s. No nosso caso h(s)=a\,s^{-0,1}. Vou usar essa definição para calcular \overline{h_x}.

Passo 3

Calcular a integral necessária usando a regra de potência para integrais. Lembrete da regra: para n\neq -1,
\int s^{n}\,ds=\frac{s^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=-0,1, logo n+1=0,9\neq 0. Isso significa que a função é integrável no intervalo que inclui s=0 (porque n>-1), e podemos aplicar a regra de potência sem problemas.

Passo 4

Aplicar a definição do passo 2 com h(s)=a\,s^{-0,1}:
\overline{h_x}=\frac{1}{x}\int_{0}^{x} a\,s^{-0,1}\,ds =\frac{a}{x}\left[\frac{s^{0,9}}{0,9}\right]_{0}^{x}.
Avaliar o termo de limite inferior: como 0,9>0, s^{0,9} tende a 0 quando s\to 0. Portanto obtemos
\overline{h_x}=\frac{a}{x}\cdot\frac{x^{0,9}}{0,9}=\frac{a}{0,9}\,x^{-0,1}.

Passo 5

Comparar \overline{h_x} com h_x. Recordando h_x=a\,x^{-0,1}, a razão pedida é
\frac{\overline{h_x}}{h_x} =\frac{\dfrac{a}{0,9}\,x^{-0,1}}{a\,x^{-0,1}} =\frac{1}{0,9}=\frac{10}{9}\approx 1,111\ldots
Note que o fator \dfrac{10}{9} é constante, ou seja, a razão entre o coeficiente médio (sobre [0,x]) e o coeficiente local no ponto x não depende de x.

Passo 6

Interpretação qualitativa da variação com x:
  • O termo x^{-0,1} indica que tanto h_x quanto \overline{h_x} decrescem com x, pois o expoente -0,1 é negativo. A queda é lenta (fraca) porque o expoente em valor absoluto é pequeno ( 0,1). Em palavras: ao aumentar a distância x a partir da aresta frontal, o coeficiente local h_x diminui lentamente.
  • Como vimos, \overline{h_x}=\dfrac{10}{9}\,a\,x^{-0,1}. Logo \overline{h_x} tem exatamente a mesma dependência funcional em x que h_x (ambos \propto x^{-0,1}), mas \overline{h_x} é sempre \dfrac{10}{9} vezes maior que h_x no mesmo x. Portanto graficamente ambas curvas teriam a mesma forma (mesmo declive em escala log-log), com a curva de \overline{h_x} ligeiramente acima da de h_x.
  • Exemplos numéricos qualitativos: se x aumenta por um fator 2, o fator de variação é 2^{-0,1}\approx 0,93 (queda de cerca de 7\%); se x aumenta por um fator 10, o fator é 10^{-0,1}\approx 0,79 (queda de cerca de 21\%). Isso ilustra que a queda é moderada, não abrupta.

Passo 7

Resumo prático (como usar na prova):
  • Lembre-se da definição de média \overline{h_x}=\dfrac{1}{x}\int_0^x h(s)\,ds.
  • Para leis de potência h(s)=a s^{n} usar a regra de potência da integral diretamente.
  • Verifique a integrabilidade perto de s=0 checando n>-1.
  • Depois simplificar a razão \dfrac{\overline{h_x}}{h_x}; muitas vezes o fator em x cancela se ambos têm o mesmo expoente.

Resposta

\dfrac{\overline{h_x}}{h_x}=\dfrac{10}{9}\approx 1,111\ldots
Tanto h_x quanto \overline{h_x} decrescem com x segundo uma lei de potência \propto x^{-0,1}; \overline{h_x} tem a mesma dependência em x que h_x mas é sempre \tfrac{10}{9} vezes maior.

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