Exemplo 4.5 Uma esfera de ferro \left[k=60 /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), c_{p}=460 \mathrm{~J} /\left(\mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), \rho=7.850 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right., e \alpha=1,6 \left.\times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}\right] de diâmetro D=5 \mathrm{~cm}, está inicialmente em uma temperatura uniforme T_{i}=225^{\circ} \mathrm{C}. Repentinamente, a superfície da esfera é exposta a um ambiente à temperatura T_{\infty}=25^{\circ} \mathrm{C} com um coeficiente de transferência de calor h=500 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right).
Calcule a temperatura no centro da esfera em t=2 minutos depois do início do resfriamento.
Calcule a temperatura à profundidade de 1,0 \mathrm{~cm} a partir da superfície, 2 minutos depois do início do resfriamento.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras e dá vários dados numéricos:
  • Pedidos:
    1. Calcular a temperatura no centro da esfera em t=2 minutos após o início do resfriamento.
    2. Calcular a temperatura à profundidade de 1{,}0\\ \mathrm{cm} a partir da superfície ( =1{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}), no mesmo instante t=2 minutos.
  • Dados fornecidos (pegos do enunciado):
    • Condutividade térmica: k=60\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
    • Calor específico: c_{p}=460\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
    • Densidade: \rho=7{,}850\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
    • Difusividade térmica: \alpha=1{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} (informação adicional, pode servir para checagens).
    • Diâmetro da esfera: D=5\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}. Logo o raio é R=0{,}025\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura inicial uniforme: T_{i}=225{,}^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do ambiente: T_{\infty}=25{,}^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente convectivo na superfície: h=500\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
    • Tempo pedido: t=2\\ \text{min}=120\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Decidir o método apropriado (resumo da ideia, sem desenvolver ainda).
  • Para problemas transientes com convecção na superfície, há dois caminhos típicos:
    1. Modelo de corpo lumped (capacitância concentrada) que assume temperatura uniforme no interior durante o resfriamento — válido quando o número de Biot \mathrm{Bi}=hL_{c}/k é pequeno (regra prática: \mathrm{Bi}<0{,}1).
    2. Solução distribuída (séries de funções próprias) que dá temperatura dependente da posição radial r dentro da esfera — necessária quando \mathrm{Bi} não é pequeno.
No próximo passo eu calculo \mathrm{Bi} e decido qual método usar.

Passo 3

Cálculo do comprimento característico L_{c} e do número de Biot \mathrm{Bi}. Explicação das fórmulas:
  • Definição de L_{c}: L_{c}=V/A, onde V é o volume e A é a área superficial do corpo. Para uma esfera: V=\frac{4}{3}\pi R^{3},\qquad A=4\pi R^{2},então L_{c}=\frac{V}{A}=\frac{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}{4\pi R^{2}}=\frac{R}{3}.Aqui R é o raio da esfera.
  • Número de Biot: \mathrm{Bi}=\frac{h L_{c}}{k}.Interpretação: \mathrm{Bi} compara a resistência térmica por condução dentro do sólido com a resistência por convecção na superfície. Se \mathrm{Bi} é pequeno, a resistência interna é pequena e a temperatura no sólido é quase uniforme — daí o modelo lumped.
Agora calculo numericamente L_{c} e \mathrm{Bi}.

Passo 4

Cálculos numéricos de L_{c} e \mathrm{Bi}:
  • Raio: R=0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento característico: L_{c}=\frac{R}{3}=\frac{0{,}025}{3}=0{,}0083333\\ \mathrm{m}.
  • Número de Biot: \mathrm{Bi}=\frac{h L_{c}}{k}=\frac{500\cdot 0{,}0083333}{60}.Calcule passo a passo: 500\cdot 0{,}0083333=4{,}1666665,
\mathrm{Bi}=\frac{4{,}1666665}{60}=0{,}06944444\approx 0{,}0694.
  • Conclusão sobre o método: como \mathrm{Bi}\approx0{,}0694<0{,}1, a aproximação por lumped capacitance é válida. Isso significa que a variação de temperatura dentro da esfera é pequena e podemos tratar a esfera com temperatura praticamente uniforme em função do tempo. Portanto a temperatura no centro e a 1{,}0\\ \mathrm{cm} da superfície serão, dentro dessa aproximação, (praticamente) iguais à temperatura uniforme do corpo no tempo t. Vou agora apresentar o modelo lumped e calcular a temperatura.

Passo 5

Modelo lumped: dedução da equação temporal e apresentação das variáveis.
  • Equação de balanço energético para corpo com temperatura uniforme T(t): \rho V c_{p}\frac{dT}{dt} = -h A \bigl(T(t)-T_{\infty}\bigr).Explicando cada símbolo:
    • \rho é a densidade do material ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}).
    • V é o volume da esfera ( \mathrm{m}^{3}).
    • c_{p} é o calor específico ( \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C})).
    • T(t) é a temperatura uniforme do sólido no instante t.
    • T_{\infty} é a temperatura do ambiente.
    • h é o coeficiente de convecção.
    • A é a área superficial do sólido ( \mathrm{m}^{2}).
  • Reorganizando, define-se a constante: \frac{dT}{dt} = -\frac{hA}{\rho V c_{p}}\bigl(T-T_{\infty}\bigr).Isso é uma equação diferencial linear simples cuja solução é: T(t)=T_{\infty}+\bigl(T_{i}-T_{\infty}\bigr)\exp\!\Bigl(-\frac{hA}{\rho V c_{p}}\,t\Bigr).
  • Observação: como A/V=1/L_{c}, a constante de decaimento pode ser escrita também como \dfrac{h}{\rho c_{p} L_{c}}. Vou usar essa forma para calcular numericamente porque já temos L_{c}.

Passo 6

Cálculo numérico do coeficiente de decaimento e da solução em t=120\\ \mathrm{s}.
  • Primeiro calculo \rho c_{p} L_{c}: \rho c_{p} L_{c}=7850\cdot 460\cdot 0{,}0083333.Calcule por etapas: 7850\cdot 460=3{,}611{,}000,
3{,}611{,}000\cdot 0{,}0083333=\frac{3{,}611{,}000}{120}=30{,}091{,}6667\\ \text{(unidades: J/(m}^{2}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C})\text{)}.
  • Coeficiente de decaimento: \frac{h}{\rho c_{p} L_{c}}=\frac{500}{30{,}091{,}6667}=0{,}0166157\\ \mathrm{s}^{-1}\approx 0{,}01662\\ \mathrm{s}^{-1}.Tempo característico (constante de tempo): \tau=\frac{1}{0{,}0166157}=60{,}183\\ \mathrm{s}\\ (\text{aprox.}).
  • Exponencial no tempo t=120\\ \mathrm{s}: -\frac{h}{\rho c_{p} L_{c}}\,t = -0{,}0166157\cdot 120 = -1{,}99388\approx -1{,}994.
\exp(-1{,}99388)\approx 0{,}1361.
  • Aplicando a solução: T(120)=T_{\infty}+(T_{i}-T_{\infty})\exp\!\Bigl(-\frac{h}{\rho c_{p} L_{c}}\,t\Bigr).Substituindo números: T(120)=25+(225-25)\cdot 0{,}1361=25+200\cdot 0{,}1361.
T(120)=25+27{,}22=52{,}22\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente: T(120)\approx 52{,}2\\ ^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação final e resposta para os dois pontos pedidos.
  • Pela validade do modelo lumped ( \mathrm{Bi}\approx0{,}0694<0{,}1), a temperatura da esfera é praticamente uniforme em todos os pontos internos. Portanto:
    • Temperatura no centro em t=120\\ \mathrm{s} é T(120)\approx 52{,}2\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura a 1{,}0\\ \mathrm{cm} da superfície (ou seja, a r=R-0{,}01=0{,}015\\ \mathrm{m}) em t=120\\ \mathrm{s} também é, na aproximação lumped, T(120)\approx 52{,}2\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Observação final de bom estudante: se fosse necessário maior precisão espacial (Bi maior), usar-se-ia a solução distribuída por séries próprias para esfera com condição convectiva na superfície. Aqui, por sorte, a verificação do número de Biot liberou a vida — a esfera praticamente mantém temperatura uniforme durante os primeiros minutos.

Resposta

Centro: 52{,}2\\ ^{\circ}\mathrm{C}
Profundidade 1{,}0\\ \mathrm{cm}: 52{,}2\\ ^{\circ}\mathrm{C}

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