Exemplo 4.5 Uma esfera de ferro
, e
de diâmetro
, está inicialmente em uma temperatura uniforme
. Repentinamente, a superfície da esfera é exposta a um ambiente à temperatura
com um coeficiente de transferência de calor
.
Calcule a temperatura no centro da esfera em
minutos depois do início do resfriamento.
Calcule a temperatura à profundidade de
a partir da superfície, 2 minutos depois do início do resfriamento.
Calcule a temperatura à profundidade de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras e dá vários dados numéricos:
-
Pedidos:
- Calcular a temperatura no centro da esfera em
minutos após o início do resfriamento. - Calcular a temperatura à profundidade de
a partir da superfície ( ), no mesmo instante minutos.
- Calcular a temperatura no centro da esfera em
-
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
- Condutividade térmica:
. - Calor específico:
. - Densidade:
. - Difusividade térmica:
(informação adicional, pode servir para checagens). - Diâmetro da esfera:
. Logo o raio é . - Temperatura inicial uniforme:
. - Temperatura do ambiente:
. - Coeficiente convectivo na superfície:
. - Tempo pedido:
.
- Condutividade térmica:
Passo 2
Decidir o método apropriado (resumo da ideia, sem desenvolver ainda).
- Para problemas transientes com convecção na superfície, há dois caminhos típicos:
- Modelo de corpo lumped (capacitância concentrada) que assume temperatura uniforme no interior durante o resfriamento — válido quando o número de Biot
é pequeno (regra prática: ). - Solução distribuída (séries de funções próprias) que dá temperatura dependente da posição radial
dentro da esfera — necessária quando não é pequeno.
- Modelo de corpo lumped (capacitância concentrada) que assume temperatura uniforme no interior durante o resfriamento — válido quando o número de Biot
No próximo passo eu calculo
e decido qual método usar.
Passo 3
Cálculo do comprimento característico
e do número de Biot
. Explicação das fórmulas:
- Definição de
: , onde é o volume e é a área superficial do corpo. Para uma esfera: então Aqui é o raio da esfera. - Número de Biot:
Interpretação: compara a resistência térmica por condução dentro do sólido com a resistência por convecção na superfície. Se é pequeno, a resistência interna é pequena e a temperatura no sólido é quase uniforme — daí o modelo lumped.
Agora calculo numericamente
e
.
Passo 4
Cálculos numéricos de
e
:
- Raio:
- Comprimento característico:
- Número de Biot:
Calcule passo a passo:
- Conclusão sobre o método: como
, a aproximação por lumped capacitance é válida. Isso significa que a variação de temperatura dentro da esfera é pequena e podemos tratar a esfera com temperatura praticamente uniforme em função do tempo. Portanto a temperatura no centro e a da superfície serão, dentro dessa aproximação, (praticamente) iguais à temperatura uniforme do corpo no tempo . Vou agora apresentar o modelo lumped e calcular a temperatura.
Passo 5
Modelo lumped: dedução da equação temporal e apresentação das variáveis.
- Equação de balanço energético para corpo com temperatura uniforme
: Explicando cada símbolo: -
é a densidade do material ( ). -
é o volume da esfera ( ). -
é o calor específico ( ). -
é a temperatura uniforme do sólido no instante . -
é a temperatura do ambiente. -
é o coeficiente de convecção. -
é a área superficial do sólido ( ).
-
- Reorganizando, define-se a constante:
Isso é uma equação diferencial linear simples cuja solução é: - Observação: como
, a constante de decaimento pode ser escrita também como . Vou usar essa forma para calcular numericamente porque já temos .
Passo 6
Cálculo numérico do coeficiente de decaimento e da solução em
.
- Primeiro calculo
: Calcule por etapas:
- Coeficiente de decaimento:
Tempo característico (constante de tempo): - Exponencial no tempo
:
- Aplicando a solução:
Substituindo números:
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 7
Interpretação final e resposta para os dois pontos pedidos.
- Pela validade do modelo lumped (
), a temperatura da esfera é praticamente uniforme em todos os pontos internos. Portanto: - Temperatura no centro em
é . - Temperatura a
da superfície (ou seja, a ) em também é, na aproximação lumped, .
- Temperatura no centro em
Observação final de bom estudante: se fosse necessário maior precisão espacial (Bi maior), usar-se-ia a solução distribuída por séries próprias para esfera com condição convectiva na superfície. Aqui, por sorte, a verificação do número de Biot liberou a vida — a esfera praticamente mantém temperatura uniforme durante os primeiros minutos.
Resposta
Centro:
Profundidade
: