Questão bônus:

Um ferro de engomar, que tem uma base de aço inoxidável, pesa 3 lb e tem uma área superficial de 0,5 \mathrm{ft}^{2}. O ferro tem uma potência de 500 W . Se o ambiente estiver a uma temperatura de 80^{\circ} \mathrm{F} e o coeficiente convectivo de transferência de calor for 3 \mathrm{Btu} / \mathrm{h}^{*} \mathrm{tt}^{2} \mathrm{~F}, quanto tempo levará para o ferro atingir 240^{\circ} \mathrm{F} depois de ligado?

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pergunta: calcular quanto tempo leva para o ferro atingir \,240^\circ\mathrm{F}\, depois de ligado.
  • Dados fornecidos:
    • massa do ferro: \,m = 3\\ \mathrm{lb}\,.
    • área superficial: \,A = 0{,}5\\ \mathrm{ft}^2\,.
    • potência elétrica do ferro: \,P = 500\\ \mathrm{W}\,.
    • temperatura ambiente: \,T_\infty = 80^\circ\mathrm{F}\,.
    • coeficiente convectivo: \,h = 3\\ \dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2\cdot{^\circ\mathrm{F}}}\,.
Observação importante: falta no enunciado o calor específico do material da base. Vou usar o valor típico para aço inoxidável/ferro: \,c \approx 0{,}12\\ \dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{lb}\cdot{^\circ\mathrm{F}}}\,. Também vou assumir que a temperatura inicial do ferro é a ambiente, ou seja \,T(0)=80^\circ\mathrm{F}\,.
Essas hipóteses serão explicitadas e justificadas nos passos seguintes.

Passo 2

Modelo físico escolhido e justificativa (explicando a teoria como se estivéssemos na prova).
  • Modelo: sistema de primeiro ordem com geração interna (potência elétrica) e perda convectiva na superfície. Isso leva à equação de balanço de energia do tipo “modelo de capacidade térmica concentrada” (lumped capacitance), que assume temperatura uniforme no corpo ao longo do tempo.
  • Quando usar esse modelo? Ele é aceitável se o número de Biot for pequeno ( \mathrm{Bi}\ll 1). O número de Biot é \mathrm{Bi}=h L_c/k, onde L_c é o comprimento característico (volume / área) e k é a condutividade térmica do material. Não temos espessura nem k no enunciado, mas a base de um ferro é relativamente fina e metálica (condutividade grande), então é razoável assumir \mathrm{Bi}<0{,}1. Portanto o modelo lumped é uma aproximação apropriada para um cálculo rápido em prova.
  • Balanço de energia (em palavras): taxa de variação de energia armazenada = potência elétrica fornecida menos perda por convecção para o ambiente.

Passo 3

Escrever a equação diferencial do balanço energético e explicar cada termo (aulas rápidas das fórmulas).
  • Balanço de energia (unidades consistentes em Btu e horas):
    m c \,\frac{dT}{dt} = P - h A (T - T_\infty).
    Explicando cada símbolo:
    • m é a massa em \mathrm{lb} (aqui interpretada como lbm).
    • c é o calor específico em \dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{lb}\cdot{^\circ\mathrm{F}}}.
    • T(t) é a temperatura do corpo em ^\circ\mathrm{F}.
    • P é a potência elétrica fornecida (precisa estar em \mathrm{Btu}/\mathrm{h} para consistência com h).
    • h é o coeficiente de convecção em \dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2\cdot{^\circ\mathrm{F}}}.
    • A é a área em \mathrm{ft}^2.
    • T_\infty é a temperatura ambiente.
  • Conversão da potência para unidades compatíveis:
    1\\ \mathrm{W} = 3{,}412142\\ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}}, \qquad P = 500\\ \mathrm{W} = 500 \times 3{,}412142 = 1706{,}07\\ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}}.
  • Calcular hA:
    hA = 3\\ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2\cdot{^\circ\mathrm{F}}}\times 0{,}5\\ \mathrm{ft}^2 = 1{,}5\\ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}\cdot{^\circ\mathrm{F}}}.
  • Calor térmico do ferro (capacidade térmica):
    m c = 3\\ \mathrm{lb}\times 0{,}12\\ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{lb}\cdot{^\circ\mathrm{F}}} = 0{,}36\\ \frac{\mathrm{Btu}}{{^\circ\mathrm{F}}}.
    (Aqui expliquei a escolha de c: 0{,}12\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{lb}\cdot^\circ\mathrm{F}) é um valor típico para aço inox/ferro; num exame pode ser dado ou pode ser pedido assumir um valor típico.)

Passo 4

Encontrar a temperatura de regime permanente (estado estacionário) — aula rápida sobre solução forçada.
  • Do balance steady-state ( dT/dt=0): 0 = P - hA (T_s - T_\infty)\quad\Rightarrow\quad T_s = T_\infty + \frac{P}{hA}.
  • Substituindo números: T_s = 80^\circ\mathrm{F} + \frac{1706{,}07\\ \mathrm{Btu/h}}{1{,}5\\ \mathrm{Btu/(h\cdot{^\circ\mathrm{F}})}} = 80 + 1137{,}38 = 1217{,}38^\circ\mathrm{F}.Comentário: o regime é muito alto (teórico) porque uma potência grande aplicada a uma massa pequena com pequena área de troca resulta em grande temperatura de equilíbrio. Felizmente queremos apenas 240^\circ\mathrm{F}, bem abaixo de T_s.

Passo 5

Resolver a equação diferencial (transiente) e identificar a constante de tempo — aula sobre decaimento exponencial.
  • A equação linear com termo constante tem solução bem conhecida: T(t) = T_s - \bigl(T_s - T(0)\bigr)\exp\!\bigl(-\tfrac{hA}{m c}\,t\bigr).Aqui T(0)=T_\infty=80^\circ\mathrm{F}.
  • Definimos a constante de tempo: \tau = \frac{m c}{hA}.Substituindo valores: \tau = \frac{0{,}36\\ \mathrm{Btu}/{^\circ\mathrm{F}}}{1{,}5\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot{^\circ\mathrm{F}})} = 0{,}24\\ \mathrm{h}.Em minutos e segundos: \tau = 0{,}24\\ \mathrm{h} = 0{,}24\times 60 = 14{,}4\\ \mathrm{min} = 864\\ \mathrm{s}.Interpretação: em um tempo da ordem de \tau a temperatura tende a seguir grande parte do caminho até T_s; mas como T_s é muito maior que 240^\circ\mathrm{F}), chegaremos a 240^\circ\mathrm{F}) bem antes de atingir \tau.

Passo 6

Calcular explicitamente o tempo para atingir \,240^\circ\mathrm{F}\, resolvendo a equação exponencial (mostrar cada conta).
  • Escrever a condição: 240 = T_s - (T_s-T_0)\exp\!\bigl(-\tfrac{t}{\tau}\bigr),onde T_0=80^\circ\mathrm{F}.
  • Reorganizando: \exp\!\bigl(-\tfrac{t}{\tau}\bigr) = \frac{T_s-240}{T_s-T_0}.
  • Calcular os termos numéricos: T_s - 240 = 1217{,}38 - 240 = 977{,}38, \qquad T_s - T_0 = 1217{,}38 - 80 = 1137{,}38.
\frac{T_s-240}{T_s-T_0} = \frac{977{,}38}{1137{,}38} = 0{,}859593\\ (\text{aprox.}).
  • Tomando logaritmo natural: -\frac{t}{\tau} = \ln(0{,}859593) = -0{,}151346\quad\Rightarrow\quad t = \tau\times 0{,}151346.
  • Substituindo \tau = 0{,}24\\ \mathrm{h}: t = 0{,}24\times 0{,}151346 = 0{,}036323\\ \mathrm{h}.Converter para minutos e segundos: t = 0{,}036323\times 60 = 2{,}1794\\ \mathrm{min} \approx 2{,}18\\ \mathrm{min},
t \approx 2{,}18\\ \mathrm{min} = 2\\ \text{min}\\\ 10{,}8\\ \mathrm{s}\approx 131\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Conclusões, interpretação e ressalvas (o que esse resultado significa e limitações).
  • Resultado: leva cerca de 2{,}18 minutos para o ferro passar de 80^\circ\mathrm{F} para 240^\circ\mathrm{F} segundo o modelo adotado.
  • Limitações e fontes de erro:
    • Usei c=0{,}12\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{lb}\cdot{^\circ\mathrm{F}}) como calor específico do aço inox; se o material tiver outro c (ou se a massa efetiva aquecida for maior), o tempo muda proporcionalmente.
    • Assumi validade do modelo lumped (temperatura uniforme no corpo). Se o corpo tiver gradientes internos significativos (Bi grande), o tempo real pode ser diferente.
    • O resultado é consistente com uma estimativa rápida: energia necessária é m c\Delta T = 0{,}36\times 160 = 57{,}6\\ \mathrm{Btu} e a potência elétrica é 1706\\ \mathrm{Btu/h}, então o tempo mínimo sem perdas seria 57{,}6/1706\\ \mathrm{h}\approx 0{,}0338\\ \mathrm{h} (≈2,03 min); com as perdas por convecção o tempo fica um pouco maior, como obtivemos (≈2,18 min).

Resposta

t \approx 2{,}18\\ \mathrm{min} \approx 131\\ \mathrm{s}

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