Questão bônus:
Um ferro de engomar, que tem uma base de aço inoxidável, pesa 3 lb e tem uma área superficial de
. O ferro tem uma potência de 500 W . Se o ambiente estiver a uma temperatura de
e o coeficiente convectivo de transferência de calor for
, quanto tempo levará para o ferro atingir
depois de ligado?
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- Pergunta: calcular quanto tempo leva para o ferro atingir
depois de ligado. - Dados fornecidos:
- massa do ferro:
. - área superficial:
. - potência elétrica do ferro:
. - temperatura ambiente:
. - coeficiente convectivo:
.
- massa do ferro:
Observação importante: falta no enunciado o calor específico do material da base. Vou usar o valor típico para aço inoxidável/ferro:
. Também vou assumir que a temperatura inicial do ferro é a ambiente, ou seja
.
Essas hipóteses serão explicitadas e justificadas nos passos seguintes.
Essas hipóteses serão explicitadas e justificadas nos passos seguintes.
Passo 2
Modelo físico escolhido e justificativa (explicando a teoria como se estivéssemos na prova).
- Modelo: sistema de primeiro ordem com geração interna (potência elétrica) e perda convectiva na superfície. Isso leva à equação de balanço de energia do tipo “modelo de capacidade térmica concentrada” (lumped capacitance), que assume temperatura uniforme no corpo ao longo do tempo.
- Quando usar esse modelo? Ele é aceitável se o número de Biot for pequeno (
). O número de Biot é , onde é o comprimento característico (volume / área) e é a condutividade térmica do material. Não temos espessura nem no enunciado, mas a base de um ferro é relativamente fina e metálica (condutividade grande), então é razoável assumir . Portanto o modelo lumped é uma aproximação apropriada para um cálculo rápido em prova. - Balanço de energia (em palavras): taxa de variação de energia armazenada = potência elétrica fornecida menos perda por convecção para o ambiente.
Passo 3
Escrever a equação diferencial do balanço energético e explicar cada termo (aulas rápidas das fórmulas).
-
Balanço de energia (unidades consistentes em Btu e horas):Explicando cada símbolo:
-
é a massa em (aqui interpretada como lbm). -
é o calor específico em . -
é a temperatura do corpo em . -
é a potência elétrica fornecida (precisa estar em para consistência com ). -
é o coeficiente de convecção em . -
é a área em . -
é a temperatura ambiente.
-
-
Conversão da potência para unidades compatíveis:
-
Calcular
: -
Calor térmico do ferro (capacidade térmica):(Aqui expliquei a escolha de
: é um valor típico para aço inox/ferro; num exame pode ser dado ou pode ser pedido assumir um valor típico.)
Passo 4
Encontrar a temperatura de regime permanente (estado estacionário) — aula rápida sobre solução forçada.
- Do balance steady-state (
): - Substituindo números:
Comentário: o regime é muito alto (teórico) porque uma potência grande aplicada a uma massa pequena com pequena área de troca resulta em grande temperatura de equilíbrio. Felizmente queremos apenas 240^\circ\mathrm{F}, bem abaixo de .
Passo 5
Resolver a equação diferencial (transiente) e identificar a constante de tempo — aula sobre decaimento exponencial.
- A equação linear com termo constante tem solução bem conhecida:
Aqui . - Definimos a constante de tempo:
Substituindo valores: Em minutos e segundos: Interpretação: em um tempo da ordem de a temperatura tende a seguir grande parte do caminho até ; mas como é muito maior que 240^\circ\mathrm{F}), chegaremos a 240^\circ\mathrm{F}) bem antes de atingir .
Passo 6
Calcular explicitamente o tempo para atingir
resolvendo a equação exponencial (mostrar cada conta).
- Escrever a condição:
onde . - Reorganizando:
- Calcular os termos numéricos:
- Tomando logaritmo natural:
- Substituindo
: Converter para minutos e segundos:
Passo 7
Conclusões, interpretação e ressalvas (o que esse resultado significa e limitações).
- Resultado: leva cerca de
minutos para o ferro passar de para segundo o modelo adotado. - Limitações e fontes de erro:
- Usei
como calor específico do aço inox; se o material tiver outro (ou se a massa efetiva aquecida for maior), o tempo muda proporcionalmente. - Assumi validade do modelo lumped (temperatura uniforme no corpo). Se o corpo tiver gradientes internos significativos (Bi grande), o tempo real pode ser diferente.
- O resultado é consistente com uma estimativa rápida: energia necessária é
e a potência elétrica é , então o tempo mínimo sem perdas seria (≈2,03 min); com as perdas por convecção o tempo fica um pouco maior, como obtivemos (≈2,18 min).
- Usei