Uma partícula está se movendo com velocidade v0 quando s=0 e t=0. Se ela está sujeita a uma desaceleração de a=-kv^3, em que k é uma constante, determine sua velocidade e a aceleração em função do tempo.

Passo 1

Resumo da questão: temos uma partícula que, no instante a ;=;dvdt;=;-,k,v^3, , está em com velocidade inicial . A aceleração dela segue a lei
onde é constante.
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias (EDO) de separação de variáveis. Vamos precisar separar e , integrar e usar a condição inicial para achar as constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial e separamos as variáveis:
dvdt=-k,v^3 Longrightarrow dvv^3=-k,dt

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. De um lado, integral v^-3dv = integral -k,dt Longrightarrow v^-2-2 = -,k,t + C, ; do outro, :
pois .

Passo 4

Determinar a constante v(0)^-2-2 = v0^-2-2 = C usando :

Passo 5

Substituindo v^-2-2 = -,k,t + v0^-2-2 Longrightarrow v^-2 = 2,k,t + v0^-2 na solução geral:
v(t) = 1raiz,2,k,t + v0^-2,
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Passo 6

Por fim, a aceleração em função do tempo é
a(t)=dvdt=-kl[v(t)r]^3 =-,k;1l(2,k,t + v0^-2r)^3/2

Resposta

boxedv(t)=1raiz2,k,t + v0^-2 , a(t)=-,k,1l(2,k,t + v0^-2r)^3/2

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